Denne artikkelen er også tilgjengelig som en lydfil.
Dette er en utmerket artikkel som er verdt å lese.

matematikk

fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigasjon Hopp til søk

Matematikk ( føderaltysk standardtysk : [ matemaˈtiːk ], [ matemaˈtik ]; Østerriksk standardtysk : [ mateˈmaːtik ]; [1] gammelgresk μαθηματική τέχνη mathēmatikē téchnē , kunsten å lære ') er en formell vitenskap som oppsto fra studiet av geometriske figurer og beregning med tall . Det er ingen allment akseptert definisjon av matematikk ; i dag er det vanligvis beskrevet som en vitenskap ved logiske selvopprettede definisjoner abstrakte strukturer ved hjelp av logikk til deres egenskaper og mønstre som er studert.

Den egyptiske Papyrus Rhind

historie

Matematikk er en av de eldste vitenskapene. Den opplevde sin første storhetstid før antikken i Mesopotamia , India og Kina , senere i antikken i Hellas og i hellenismen . Det var derfra orienteringen til oppgaven med "rent logisk bevis" og den første aksiomatiseringen , nemlig euklidisk geometri, datert. I middelalderen overlevde hun uavhengig i den tidlige humanismen ved universitetene og i den arabiske verden.

I den tidlige moderne perioden introduserte François Viète variabler, René Descartes åpnet en beregningsmessig tilnærming til geometri gjennom bruk av koordinater . Hensynet til endringshastigheter ( fluksjoner ) samt beskrivelsen av tangenter og bestemmelse av overflatearealer ("kvadratur") førte til den uendelige beregningen av Gottfried Wilhelm Leibniz og Isaac Newton . Newtons mekanikk og hans gravitasjonslov fortsatte å være en kilde til sædvanlige matematiske problemer som tre-kroppsproblemet i århundrene som fulgte.

Et annet sentralt problem i den tidlige moderne tiden var å løse stadig mer komplekse algebraiske ligninger. For å håndtere dette utviklet Niels Henrik Abel og Évariste Galois begrepet gruppe , som beskriver forholdet mellom symmetrier til et objekt. Den nyere algebraen og spesielt algebraisk geometri kan sees på som en ytterligere utdypning av disse undersøkelsene.

Sete for World Association of the International Mathematical Union i Berlin

En ny idé den gangen i korrespondansen mellom Blaise Pascal og Pierre de Fermat i 1654 førte til løsningen på et gammelt problem som det allerede var andre, om enn kontroversielle, løsninger på. Korrespondansen blir sett på som fødselen til den klassiske sannsynlighetsregningen. De nye ideene og prosessene erobret mange områder. Men gjennom århundrene delte den klassiske sannsynlighetsteorien seg opp i separate skoler. Forsøk på å definere begrepet "sannsynlighet" lykkes eksplisitt bare i spesielle tilfeller. Det var ikke før Andrei Kolmogorovs lærebok Basic Concepts in Probability Theory ble utgitt i 1933 at utviklingen av grunnlaget for moderne sannsynlighetsteori var fullført, se også History of Probability Theory .

I løpet av 1800-tallet fant den uendelige kalkulus sin nåværende strenge form gjennom arbeidet til Augustin-Louis Cauchy og Karl Weierstrass . Settteorien som ble utviklet av Georg Cantor mot slutten av 1800 -tallet, har også blitt uunnværlig i dagens matematikk, selv om den gjennom paradoksene i det naive settet begrep, i utgangspunktet tydeliggjorde det usikre grunnlaget som matematikken sto før.

Utviklingen av første halvdel av 1900 -tallet ble påvirket av David Hilberts liste over 23 matematiske oppgaver . Et av problemene har vært forsøket på å aksiomatisere matematikken fullt ut; Samtidig var det en sterk innsats mot abstraksjon, dvs. forsøket på å redusere objekter til deres essensielle egenskaper. Emmy Noether utviklet grunnlaget for moderne algebra, Felix Hausdorff den generelle topologien som undersøkelse av topologiske rom , Stefan Banach det viktigste konseptet med funksjonell analyse , Banach -rommet oppkalt etter ham. Et enda høyere abstraksjonsnivå, et felles rammeverk for å se lignende konstruksjoner fra forskjellige matematikkområder, ble til slutt skapt av introduksjonen av kategoriteori av Samuel Eilenberg og Saunders Mac Lane .

Innhold og metodikk

Innhold og delområder

Følgende liste gir en innledende kronologisk oversikt over bredden av matematiske emner:

Litt utenfor allfarvei i denne listen er numerisk matematikk , som gir algoritmer for å løse konkrete kontinuerlige problemer fra mange av de ovennevnte områdene og undersøker dem.

Det skilles også mellom ren matematikk, også kjent som teoretisk matematikk , som ikke omhandler ikke-matematiske applikasjoner, og anvendt matematikk som aktuarmessig matematikk og kryptologi . Overgangene mellom områdene som nettopp er nevnt er flytende.

Fremgang gjennom problemløsning

Isaac Newton : Principia Mathematica ( Frontispiece )

Et annet kjennetegn ved matematikk er måten den utvikler seg på gjennom behandling av problemer som "faktisk er for vanskelige".

Så snart en grunnskoleelev har lært å legge til naturlige tall, er han i stand til å forstå følgende spørsmål og svare på det gjennom prøving og feiling: "Hvilket tall må du legge til 3 for å få 5?" Den systematiske løsningen på slike oppgaver krever imidlertid en introduksjon av et nytt konsept: subtraksjon. Spørsmålet kan deretter omformuleres til: “Hva er 5 minus 3?” Men så snart subtraksjonen er definert, kan man også stille spørsmålet: “Hva er 3 minus 5?”, Som refererer til et negativt tall og dermed allerede via barneskolen matematikk leder ut.

Akkurat som i dette elementære eksemplet på individuell læring, har matematikk også kommet videre i sin historie: på hvert nivå som er nådd, er det mulig å sette veldefinerte oppgaver, hvis løsning krever mye mer sofistikerte midler. Mange århundrer har gått mellom formuleringen av et problem og løsningen, og til slutt er det etablert et helt nytt delområde med problemløsningsprosessen: På 1600-tallet kunne for eksempel uendelig kalkulus løse problemer som hadde vært åpent siden antikken.

Selv et negativt svar, beviset på uløseligheten av et problem, kan fremme matematikk: for eksempel kom gruppeteori ut av mislykkede forsøk på å løse algebraiske ligninger.

Aksiomatisk formulering og språk

Sir Henry Billingsleys første engelske utgave av Euclids "Elements" (1570)

Siden slutten av 1800 -tallet, og noen ganger siden antikken , har matematikk blitt presentert i form av teorier som begynner med utsagn som anses å være sanne; ytterligere sanne utsagn stammer deretter fra dette. Denne avledningen skjer i henhold til nøyaktig definerte endelige regler . Uttalelsene som teorien begynner med kalles aksiomer , de som stammer fra dem kalles proposisjoner . Selve avledningen er et bevis på teoremet. I praksis spiller definisjoner fortsatt en rolle; de ​​introduserer og spesifiserer matematiske termer ved å redusere dem til mer grunnleggende. På grunn av denne strukturen av matematiske teorier kalles de aksiomatiske teorier.

Vanligvis krever man fra aksiomer til en teori at de er fri for motsetninger, det vil si at et forslag og negasjon av dette proposisjonen ikke er sant samtidig. Imidlertid kan denne konsistensen i seg selv generelt ikke bevises innenfor en matematisk teori (dette avhenger av aksiomene som brukes). Som et resultat kan konsistensen av Zermelo-Fraenkel-setteteorien , for eksempel, som er grunnleggende for moderne matematikk, ikke bevises uten hjelp av ytterligere forutsetninger.

Emnene som dekkes av disse teoriene er abstrakte matematiske strukturer som også er definert av aksiomer. Mens i de andre vitenskapene objektene som behandles blir gitt, og deretter blir metodene for å undersøke disse objektene opprettet, i matematikk omvendt, blir metoden gitt og objektene som kan undersøkes med den, blir først opprettet etterpå. På denne måten inntar matematikk alltid en spesiell posisjon blant vitenskapene.

Den videre utviklingen av matematikk, derimot, skjedde og skjer ofte gjennom samlinger av proposisjoner, bevis og definisjoner som ikke er strukturert aksiomatisk, men først og fremst er formet av intuisjonen og erfaringen til de involverte matematikerne. Konverteringen til en aksiomatisk teori skjer først senere, når andre matematikere håndterer de ikke så nye ideene.

Rundt 1930 viste Kurt Gödel den ufullstendighetsteoremet som er oppkalt etter ham, som sier at i hvert aksiomsystem av klassisk logikk som gjør det mulig å bevise visse utsagn om naturlige tall, er det enten utsagn som er like ubeviselige som deres negasjon, eller selve systemet motsier seg selv.

Matematikk bruker et veldig kompakt språk for å beskrive fakta, som er basert på tekniske termer og fremfor alt formler. En representasjon av tegnene som brukes i formlene finnes i listen over matematiske symboler . En spesialitet i den matematiske terminologien består i dannelse av adjektiv avledet fra matematikere navn som Pythagorean , Euklidean, Eulerian , Abelian , Noetherian og Artinsch .

bruksområder

Jakob Bernoulli : Ars Conjectandi (1713)

Matematikk er anvendelig i alle fag som er tilstrekkelig formalisert . Dette resulterer i et nært samspill med applikasjoner innen empirisk vitenskap. I mange århundrer har matematikk hentet inspirasjon fra astronomi , geodesi , fysikk og økonomi, og har derimot gitt grunnlaget for fremdriften i disse fagene. For eksempel utviklet Newton beregning for å matematisk forstå det fysiske konseptet "kraft er lik endring i momentum". Solow utviklet en økonomisk modell for veksten i en økonomi, som danner grunnlaget for den nyklassisistiske vekstteorien den dag i dag. Mens han studerte bølgelikningen, la Fourier grunnlaget for det moderne funksjonsbegrepet, og Gauss utviklet metoden med minst kvadrater og systematiserte løsningen av lineære ligningssystemer som en del av arbeidet med astronomi og landmåling. Statistikken som er allestedsnærværende i dag kom frem fra den første studien av pengespill.

Motsatt har matematikere noen ganger utviklet teorier som først senere fant overraskende praktiske anvendelser. For eksempel har teorien om komplekse tall for den matematiske representasjonen av elektromagnetisme, som dukket opp allerede på 1500 -tallet, i mellomtiden blitt uunnværlig. Et annet eksempel er tensor -differensialformene calculus , som Einstein brukte for den matematiske formuleringen av generell relativitet . Videre ble håndtering av tallteori lenge sett på som en intellektuell gimmick uten praktisk bruk, uten hvilken moderne kryptografi og dens mangfoldige applikasjoner på Internett ville vært utenkelig i dag.

Forholdet til andre vitenskaper

Kategorisering av matematikk

Gregor Reisch , Margarita Philosophica (1508)

Spørsmålet om hvilken kategori av vitenskapsmatematikk som tilhører har vært gjenstand for kontrovers i lang tid.

Mange matematiske spørsmål og begreper er motivert av spørsmål knyttet til naturen, for eksempel fra fysikk eller ingeniørfag , og matematikk brukes som hjelpevitenskap i nesten alle naturvitenskap. Imidlertid er det ikke i seg selv en naturvitenskap i streng forstand, ettersom uttalelsene ikke er avhengig av eksperimenter eller observasjoner. Likevel antas det i den nyere matematikkfilosofien at matematikkens metodikk mer og mer tilsvarer naturvitenskapens. Etter Imre Lakatos antas en "renessanse for empirisme", ifølge hvilken matematikere også la frem hypoteser og søker bekreftelse for dem.

Matematikk har metodiske og innholdsrelaterte likheter med filosofi ; for eksempel er logikk et område med overlapping mellom de to vitenskapene. Matematikk kunne dermed regnes blant de humanistiske , [2] men klassifiseringen av filosofi er også kontroversiell.

Av disse grunnene kategoriserer noen også matematikk - sammen med andre disipliner som datavitenskap - som strukturvitenskap eller formell vitenskap .

Ved tyske universiteter tilhører matematikk stort sett det samme fakultetet som naturvitenskap, og så matematikere, etter at forfremmelsen vanligvis er den akademiske graden til Dr. rer. nat. (Doctor of Science) tildelt. I motsetning til dette oppnår universitetsutdannede i den engelsktalende verden tittelen "Bachelor of Arts" eller "Master of Arts", som faktisk tildeles humaniora.

Spesiell rolle blant vitenskapene

Galileo Galilei : Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze (1638)

Matematikk spiller en spesiell rolle blant vitenskapene når det gjelder gyldigheten av funnene og strengheten i metodene. For eksempel, mens alle vitenskapelige funn kan forfalskes av nye eksperimenter og derfor i prinsippet er foreløpige, blir matematiske utsagn produsert fra hverandre gjennom rene tankeoperasjoner eller redusert til hverandre og trenger ikke å være empirisk verifiserbare. For dette må imidlertid et strengt logisk bevis finnes for matematisk kunnskap før det kan gjenkjennes som et matematisk forslag . I denne forstand er matematiske proposisjoner i prinsippet endelige og universelle sannheter, slik at matematikk kan betraktes som den eksakte vitenskapen. Det er nettopp denne nøyaktigheten som er så fascinerende om matematikk for mange mennesker. Så sa David Hilbert på den internasjonale matematikkongressen i Paris i 1900:

“Vi skal kort diskutere hvilke berettigede generelle krav som skal stilles til løsningen av et matematisk problem: Jeg mener fremfor alt at det er mulig å demonstrere riktigheten av svaret med et begrenset antall slutninger, på grunnlag av et begrenset tall av forutsetninger som ligger i problemet og som må formuleres nøyaktig hver gang. Dette kravet om logisk fradrag ved hjelp av et begrenset antall slutninger er ingenting annet enn kravet om strenghet i argumentasjonen. Kravet til strenghet, som er kjent for å ha fått en ordspråklig betydning i matematikk, tilsvarer et generelt filosofisk behov for vår forståelse, og på den annen side er det bare gjennom oppfyllelsen at det intellektuelle innholdet og fruktbarheten til problemet får full effekt. Et nytt problem, spesielt hvis det kommer fra den ytre verden, er som en ung ris, som bare trives og bærer frukt hvis den er podet forsiktig og i henhold til gartnerens strenge regler på den gamle stammen, den sikre besittelsen av vår matematiske kunnskap vil. " [3]

Joseph Weizenbaum vedMassachusetts Institute of Technology kalte matematikk moren til alle vitenskaper.

"Men jeg fastholder at i en bestemt naturteori kan det bare finnes så mye faktisk vitenskap som det er matematikk å finne i den."

- Immanuel Kant : Metafysisk begynnelse av naturvitenskap , A VIII - (1786)

Matematikk er derfor også en kumulativ vitenskap. I dag kjenner vi mer enn 2000 matematiske tidsskrifter. Dette har imidlertid også en risiko: Nyere matematiske områder gjør eldre områder i bakgrunnen. I tillegg til veldig generelle utsagn, er det også helt spesielle utsagn som det ikke er kjent noen egentlig generalisering for. Donald E. Knuth skriver i forordet til sin bok Concrete Mathematics:

“Kursets tittel 'Betongmatematikk' var opprinnelig ment som en motgift mot 'abstrakt matematikk', siden konkrete klassiske resultater raskt ble feid ut av den moderne matematiske læreplanen av en ny bølge av abstrakte ideer som populært ble kalt 'Ny matematikk'. Abstrakt matematikk er et fantastisk emne, og det er ingenting galt med det: Det er vakkert, generelt og nyttig. Men tilhengerne hadde blitt villedet av at resten av matematikken var dårligere og ikke lenger var verdt å ta hensyn til. Målet med generalisering hadde blitt så fasjonabelt at en generasjon matematikere hadde blitt ute av stand til å glede seg over skjønnheten i det spesielle, å glede seg over utfordringen med å løse kvantitative problemer eller å sette pris på verdien av teknikk. Abstrakt matematikk ble innavlet og mistet kontakten med virkeligheten; matematisk utdanning trengte en konkret motvekt for å gjenopprette en sunn balanse. "

"Tittelen på arrangementet 'Betongmatematikk' var opprinnelig ment som et kontrapunkt til 'Abstrakt matematikk', fordi konkrete, klassiske prestasjoner raskt ble fjernet fra læreplanene av en ny bølge av abstrakte ideer - ofte kalt 'Ny matematikk'. Abstrakt matematikk er en fantastisk ting som ikke har noe galt i: det er vakkert, generelt og nyttig. Men deres tilhengere trodde feilaktig at resten av matematikken var dårligere og ikke lenger verdt å vurdere. Målet med generalisering ble så fasjonabelt at en hel generasjon matematikere ikke lenger var i stand til å se skjønnhet spesielt, å utfordre løsningen av kvantitative problemer eller å sette pris på verdien av matematiske teknikker. Abstrakt matematikk dreide seg bare om seg selv og mistet kontakten med virkeligheten; I matematikkopplæring var en konkret motvekt nødvendig for å gjenopprette en stabil likevekt. "

Den eldre matematiske litteraturen er derfor av spesiell betydning.

Matematikeren Claus Peter Ortlieb kritiserer - etter hans mening - utilstrekkelig reflekterte anvendelse av moderne matematikk:

“Du må være oppmerksom på at det er grenser for hvordan matematikk kan fange verden. Antagelsen om at det fungerer utelukkende i henhold til matematiske lover fører til at man bare ser etter disse lovene. Selvfølgelig vil jeg også finne det innen naturvitenskap, men jeg må være oppmerksom på at jeg ser på verden gjennom briller som blokkerer store deler fra begynnelsen. [...] Den matematiske metoden har lenge blitt vedtatt av forskere fra nesten alle disipliner og brukes på alle mulige områder der den faktisk ikke har noen plass. [...] Tall er alltid tvilsomme når de fører til normaliseringer, selv om ingen kan forstå hvordan tallene ble til. " [4]

Matematikk i samfunnet

Logo for året for matematikk

Vitenskapsåret , som har blitt organisert årlig av Federal Ministry of Education and Research (BMBF) siden 2000, var 2008 året for matematikk .

Matematikk som skolefag

Matematikk spiller en viktig rolle som obligatorisk fag i skolen . Matematikkdidaktikk er vitenskapen som omhandler undervisning og læring av matematikk. 5. – 10. Klasse handler først og fremst om å lære regneferdigheter. På tyske grammatikkskoler introduseres differensial- og integralregning samt analytisk geometri / lineær algebra på det øvre nivået, det vil si fra klasse 11, og stokastikk videreføres.

Matematikk som fag og yrke

Personer som er profesjonelt involvert i utvikling og anvendelse av matematikk kalles matematikere .

I tillegg til studiet av matematikk der en prioritert oppgave kan stole på rene og / eller anvendt matematikk, har nylig vært mer tverrfaglige kurs som industriell matematikk , forretnings matematikk , datamaskin matematikk eller Biomatematikk blitt etablert. Videre undervisning på videregående skoler og universiteter er en viktig gren av matematikk. Ved tyske universiteter, som en del av Bologna-prosessen, ble diplomet konvertert til Bachelor / Master kurs. Spirende datavitenskapere , kjemikere , biologer , fysikere , geologer og ingeniører må også ta et visst antall timer per uke.

De vanligste arbeidsgiverne for matematikere er forsikringsselskaper , banker og managementkonsulenter , spesielt innen matematiske finansielle modeller og rådgivning, men også innen IT -området. I tillegg brukes matematikere i nesten alle bransjer.

Matematiske museer og samlinger

Matematikk er en av de eldste vitenskapene og også en eksperimentell vitenskap. Disse to aspektene kan illustreres veldig godt av museer og historiske samlinger.

Den eldste institusjonen av denne typen i Tyskland er Mathematisch-Physikalische Salon i Dresden, grunnlagt i 1728. Arithmeum i Bonn ved Institute for Discrete Mathematics der går tilbake til 1970 -tallet og er basert på samlingen av dataenheter til matematikeren Bernhard Korte . Heinz Nixdorf MuseumsForum (forkortelse "HNF") i Paderborn er det største tyske museet for utvikling av datateknologi (spesielt datamaskiner), og Mathematikum i Gießen ble grunnlagt i 2002 av Albrecht Beutelspacher og blir kontinuerlig utviklet av ham. Math.space , regissert av Rudolf Taschner , ligger i Museumsquartier i Wien og viser matematikk i sammenheng med kultur og sivilisasjon.

I tillegg er mange spesialsamlinger plassert på universiteter, men også i mer omfattende samlinger som Deutsches Museum i München eller Museum for teknologihistorien i Berlin (datamaskin utviklet og bygget av Konrad Zuse ).

Aforismer om matematikk og matematikere

Følgende aforismer av kjente personligheter kan bli funnet: [5]

  • Albert Einstein : Matematikk omhandler utelukkende forholdet mellom begreper, uavhengig av deres forhold til erfaring.
  • Galileo Galilei : Matematikk er alfabetet som Gud brukte for å beskrive universet.
  • Johann Wolfgang von Goethe : Matematikere er en slags franskmann: hvis du snakker til dem, oversetter de det til språket sitt, og så er det umiddelbart noe helt annet.
  • Godfrey Harold Hardy : Matematikeren lager ordninger.
  • David Hilbert : Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.
  • Novalis : Die ganze Mathematik ist eigentlich eine Gleichung im Großen für die anderen Wissenschaften.
  • Friedrich Nietzsche : Wir wollen die Feinheit und Strenge der Mathematik in alle Wissenschaften hineintreiben, soweit dies nur irgend möglich ist; nicht im Glauben, daß wir auf diesem Wege die Dinge erkennen werden, sondern um damit unsere menschliche Relation zu den Dingen festzustellen. Die Mathematik ist nur das Mittel der allgemeinen und letzten Menschenkenntnis.
  • Bertrand Russell : Mathematik ist die Wissenschaft, bei der man nicht weiß, wovon man spricht, noch ob das, was man sagt, wahr ist.
  • Friedrich Schlegel : Die Mathematik ist gleichsam eine sinnliche Logik, sie verhält sich zur Philosophie wie die materiellen Künste, Musik und Plastik, zur Poesie.
  • James Joseph Sylvester : Mathematik ist die Musik der Vernunft.
  • Ludwig Wittgenstein : Die Mathematik ist eine Methode der Logik.

Siehe auch

Portal: Mathematik – Übersicht zu Wikipedia-Inhalten zum Thema Mathematik

Literatur

  • John D. Barrow : Ein Himmel voller Zahlen – Auf den Spuren mathematischer Wahrheit , aus dem Englischen von Anita Ehlers, Rowohlt Taschenbuch Verlag GmbH, Reinbek bei Hamburg 1999, ISBN 3-499-19742-1 .
  • Jürgen Brater: Kuriose Welt der Zahlen , Eichborn Verlag, Frankfurt/Main 2005, ISBN 3-8218-4888-X .
  • Richard Courant , Herbert Robbins: Was ist Mathematik? Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2000, ISBN 3-540-63777-X .
  • Georg Glaeser: Der Mathematische Werkzeugkasten. Elsevier – Spektrum Akademischer Verlag, München, Heidelberg 2004, ISBN 3-8274-1485-7 .
  • Timothy Gowers : Mathematik. Deutsche Erstausgabe, aus dem Englischen übersetzt von Jürgen Schröder, Reclam-Verlag, Stuttgart 2011, ISBN 978-3-15-018706-7 .
  • Hans Kaiser, Wilfried Nöbauer: Geschichte der Mathematik. 2. Auflage. Oldenbourg, München 1999, ISBN 3-486-11595-2 .
  • Mario Livio : Ist Gott ein Mathematiker? Warum das Buch der Natur in der Sprache der Mathematik geschrieben ist. CH Beck Verlag, München 2010, ISBN 978-3-406-60595-6 .
  • Timothy Gowers (Hrsg.), June Barrow-Green (Hrsg.), Imre Leader (Hrsg.): The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press 2008 (Enzyklopädisch auf einführendem Niveau)

Weblinks

Commons : Mathematik – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wikibooks: Regal:Mathematik – Lern- und Lehrmaterialien
Wikibooks: Lehrbuch der Mathematik – Lern- und Lehrmaterialien
Wikisource: Mathematik – Quellen und Volltexte
Wiktionary: Mathematik – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Portale und Wissensdatenbanken
Schulmathematik
Software
Geschichtliches

Einzelnachweise

  1. Österreichische Aussprachedatenbank.
  2. Helmut Hasse : Mathematik als Geisteswissenschaft und Denkmittel der exakten Naturwissenschaften . In: Studium generale . Band   6 , 1953, S.   392–398 ( online ( Memento vom 25. April 2013 im Internet Archive )).
  3. David Hilbert: Mathematische Probleme. ( Memento vom 19. Januar 2012 im Internet Archive ). Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900.
  4. Oliver Link: Die Welt lässt sich nicht berechnen. Interview mit Claus Peter Ortlieb, brand eins 11/2011, abgerufen am 1. Januar 2012.
  5. Lothar Schmidt : Aphorismen von A–Z. Das große Handbuch geflügelter Definitionen . Drei Lilien Verlag, Wiesbaden 1980, S.   288–289 . (Lothar Schmidt ist Diplom-Volkswirt und lehrte Politologie an der Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main .)