Matematikkens historie

Matematikkens historie går tilbake til antikken og begynnelsen av telling i den yngre steinalderen . Bevis på den første begynnelsen av telleprosesser går tilbake rundt 50 000 år. ^[1] Pyramidebygningen i det gamle Egypt for over 4500 år siden med sine nøyaktig beregnede former er en klar indikasjon på eksistensen av omfattende matematisk kunnskap. I motsetning til matematikken til egypterne, hvorav bare noen få kilder eksisterer på grunn av den følsomme papyren , er det omtrent 400 leirtavler av babylonsk matematikk i Mesopotamia . De to kulturområdene hadde forskjellige tallsystemer , men begge kjente de fire grunnleggende aritmetiske operasjonene og tilnærmingene til sirkelnummeret ${\displaystyle \mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">\pi </span></span>}}${\ displaystyle \ pi} . Matematisk bevis fra Kina er mye nyere, ettersom dokumenter ble ødelagt av branner, og tidlig indisk matematikk er like vanskelig å datere. I det gamle Europa ble matematikk praktisert av grekerne som en vitenskap innenfor rammen av filosofi . Orienteringen mot oppgaven med "rent logisk bevis" og den første tilnærmingen til aksiomatisering , nemlig euklidisk geometri, stammer fra denne tiden. Persiske og arabiske matematikere tok til seg den greske og indiske kunnskapen, som romerne heller hadde neglisjert, og etablerte algebra . Fra Spania og Italia spredte denne kunnskapen seg til de europeiske klosterskolene og universitetene. Utviklingen av moderne matematikk (høyere algebra, analytisk geometri , sannsynlighetsteori , analyse osv.) Skjedde i Europa fra renessansen og fremover . Europa forble sentrum for utviklingen av matematikk fram til 1800 -tallet, på 1900 -tallet så en "eksplosiv" utvikling og internasjonalisering av matematikk med et klart fokus på USA, som, spesielt etter andre verdenskrig, tiltrukket matematikere fra hele verdens store etterspørsel på grunn av den ekspansive teknologiske utviklingen.

Matematikk fra de gamle egypterne og babylonerne

Egypt

Den viktigste av de få overlevende kildene som gir oss informasjon om egyptiernes matematiske evner er Rhind-papyrus , Moskva-papyrus og den såkalte "skinnrullen".

Egypterne brukte stort sett bare matematikk til praktiske oppgaver som å beregne lønn, beregne kornmengden for å bake brød eller beregne areal . De kjente de fire grunnleggende aritmetiske operasjonene , for eksempel subtraksjon som omvendt av addisjon , multiplisering ble sporet tilbake til gjentatt dobling og divisjon til gjentatt halvering. For å kunne utføre delingen fullstendig, brukte egypterne generelle brøkdeler av naturlige tall, som de representerte ved summen av forfedres brøk og brøkdelen 2/3. Du kan også løse ligninger med et abstrakt ukjent . I geometri var de opptatt av beregningen av arealene til trekanter , rektangler og trapeser , ${\displaystyle {}^{{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">(</span></span>\frac{\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">16</span></span>}}{\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">9</span></span>}}<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">)</span></span>}^{\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">2</span></span>}}}}${\ displaystyle \! ^ {{\ venstre ({\ frac {16} {9}} \ høyre)} ^ {2}}} kjent som tilnærming av sirkelnummeret π (pi) og beregning av volumet til en firkantet avkortet pyramide ^[2] . Arkeologiske funn av matematiske bevis mangler fortsatt i dag. De hadde sine egne hieroglyfer for tall, fra 1800 f.Kr. De brukte hieratisk skript , som ble skrevet med avrundede og forenklede hieroglyfiske tegn.

Babylon

Babylonerne brukte et seksagesimalt verdisystem , om enn med et ufullkommen uttrykk, slik at betydningen ofte bare kom ut av konteksten. De oppnådde leirtablettene er for eksempel tabeller med tall for multiplikasjon, med gjensidige verdier (i henhold til metoden for divisjon), firkanter og terninger; Tabellverdier som ikke var tilgjengelige, kunne bestemmes ved lineær interpolasjon og anvendelse av regler for delbarhet. Det er også tabeller med oppgaver som for eksempel tilsvarer dagens lineære ligningssystemer eller sammensatte renteberegninger, og forklaringer på beregningsmetoder. De hadde en algoritme for å beregne kvadratrøtter (babylonsk rotekstraksjon) og kunne til og med løse kvadratiske ligninger med den. De kjente pytagorasetningen og brukte 3 eller 3 + 1/8 som en tilnærming til sirkelnummeret π. Babylonierne strebet tydeligvis ikke etter et strengt argument .

Matematikk i Hellas

Matematikken i det antikke Hellas er delt inn i fire store perioder: ^[3]

• Jonisk periode (ionisk filosofi / pre-sosratikk : Thales , Pythagoras , Anaxagoras , Democritus , Hippocrates , Theodoros ) fra 600 til 400 f.Kr. Chr.
• Den athenske perioden ( sofister , Platon , Aristoteles , Theaetetus , Eudoxus av Knidos , Menaichmos , Deinostratos , Autolycus av Pitane ) fra 400 til 300 f.Kr. Chr.
• Alexandrian periode ( Euklides , Aristarchus , Archimedes , Eratosthenes , Nicomedes , Apollonios ) fra 300 til 200 f.Kr. Chr.
• Sent periode ( Hipparchus , Menelaus , Heron of Alexandria , Ptolemy , Diophant of Alexandria , Pappos ) fra 200 f.Kr. Til 300 e.Kr.

• 

  Thales

• 

  Arkimedes

• 

  Heron of Alexandria

• 

  Claudius Ptolemaios

I følge en tradisjon som stammer fra antikken, men er kontroversiell blant vitenskapshistorikere, begynner matematikkens historie som vitenskap med Pythagoras of Samos . Prinsippet "alt er tall" tilskrives ham - om enn feil. Han grunnla skolen til pytagoreerne , hvorfra matematikere som Hippasus fra Metapontium og Archytas of Taranto kom fra . I motsetning til babylonerne og egypterne hadde grekerne en filosofisk interesse for matematikk. En av de pytagoranske funnene er irrasjonaliteten i geometriske ruterelasjoner, som Hippasus sies å ha oppdaget. Det tidligere utbredte synet om at oppdagelsen av irrasjonalitet blant pytagoreerne utløste en filosofisk "grunnleggende krise" fordi den rystet deres tidligere overbevisning, blir avvist av dagens forskning. Den gamle legenden om at Hippasus forrådte sine hemmeligheter ved å gjøre oppdagelsen offentlig, antas å ha stammet fra en misforståelse.

Matematikk var veldig populært i Platonic Academy i Athen. Platon satte stor pris på det fordi det tjente til å kunne skaffe ekte kunnskap. Gresk matematikk utviklet seg deretter til en bevisende vitenskap . Aristoteles formulerte det grunnleggende i proposisjonell logikk . Med utmattelsesmetoden opprettet Eudoxos von Knidos en rudimentær form for uendelig kalkulus for første gang. På grunn av mangel på reelle tall og grenseverdier var imidlertid denne metoden ganske uhåndterlig. Archimedes utvidet dette og beregnet blant annet en tilnærming til sirkelnummeret π.

• 

  Platon

• 

  Aristoteles

• 

  Euklides av Alexandria

• 

  Democritus

I sin lærebok Elements oppsummerte Euklid en stor del av matematikken som var kjent på den tiden (geometri og tallteori). Blant annet beviser det at det er uendelig mange primtall. Dette arbeidet regnes som et godt eksempel på matematisk bevis: fra noen få spesifikasjoner er alle resultatene avledet med en strenghet som ikke burde ha eksistert før. Euclids "Elements" brukes fremdeles som lærebok i dag, etter mer enn 2000 år.

I motsetning til grekerne var de gamle romerne neppe opptatt av høyere matematikk, de var mer interessert i praktiske applikasjoner, for eksempel i landmåling og ingeniørfag. De romerske landmålerne ble kalt Gromatici eller Agrimensors ; skriftene deres ble oppsummert i et kollektivt verk ( Corpus Agrimensorum ) på 600 -tallet. Viktige agrimensorer var Sextus Iulius Frontinus , Hyginus Gromaticus og Marcus Iunius Nipsus . Inntil sent i antikken forble matematikk stort sett et domene for de gresktalende innbyggerne i imperiet, fokuset for matematisk forskning i romertiden var på Sicilia og i Nord-Afrika, spesielt i Alexandria . Pappos ga nye bidrag til geometri (også med første resultater om projektiv geometri), Apollonios til kjeglesnitt og Diophantus ga bidrag til en geometrisk forkledd algebra og tallteori (løsning av heltallligninger, senere kalt Diophantine -problemer etter ham). Den siste matematikeren i Alexandria kjent ved navn var Hypatia , som ble drept av en kristen pøbel i 415.

Kinesisk og indisk matematikk

Kina

Den første læreboken i kinesisk matematikk er Zhoubi suanjing . Det ble laget under Han -dynastiet , mellom 206 f.Kr. F.Kr. til 220 e.Kr., supplert med Liu Hui , siden de fleste matematiske postene ble ødelagt og skrevet om fra minnet som et resultat av brenning av bøker og dokumenter under Qin -dynastiet . Den matematiske kunnskapen brukes til 1700 -tallet f.Kr. Datert. Ytterligere tillegg fulgte senere til 1270 e.Kr. Den inkluderer også en kalenderdialog mellom Zhou Gong Dan, hertugen av Zhou og minister Shang Gao. Nesten like gammel er Jiu Zhang Suanshu ("Ni kapitler om matematikkens kunst"), som inneholder 246 problemer på forskjellige områder; Blant annet kan Pythagoras teorem finnes i den, men uten bevis. Kineserne brukte et desimaltallverdisystem sammensatt av horisontale og vertikale stolper (Suan Zi, kalt "aritmetikk med innsatser") ^[4] ; rundt 300 e.Kr., beregnet Liu Hui tallet 3.14159 som en tilnærming for π ved hjelp av et 3072 hjørne .

Kinesisk matematikk nådde sitt høydepunkt på 1200 -tallet. Den viktigste matematikeren på denne tiden var Zhu Shijie med sin lærebok Siyuan Yujian ("Precious Mirror of the Four Elements"), som omhandlet algebraiske ligningssystemer og fjortende graders algebraiske ligninger og løste dem ved hjelp av en slags Horner-metode . Etter denne perioden tok matematikken i Kina en brå slutt. Rundt 1600 tok japanerne opp kunnskapen om Wasan (japansk matematikk). Din viktigste matematiker var Seki Takakazu (rundt 1700). Matematikk ble praktisert som en hemmelig tempelvitenskap.

India

Dating, ifølge en god mot av indolog WD Whitney , er ekstremt problematisk gjennom hele den indiske historien. ^[5]

De eldste hentydningene til de geometriske reglene for offeralteret finnes allerede i Rig Veda . Men det var først flere århundrer senere at Sulbasutras (" tauregler ", geometriske metoder for å bygge offeralter) og andre undervisningstekster som Silpa Sastras (regler for bygging av templer) etc. ble opprettet (det vil si at de var kanonisert). Aryabhatiya og forskjellige andre " Siddhantas " ("systemer", hovedsakelig astronomiske oppgaver). Indere utviklet det kjente desimal stilling system , det vil si polynomet notasjon for basen 10, og de tilhørende beregningsregler. Skriftlig multiplikasjon i babylonsk, egyptisk eller romersk tallnotasjon var ekstremt komplisert og fungerte ved hjelp av substitusjon; dvs. med mange regler for nedbrytning og oppsummering knyttet til notasjonen, mens det i indiske tekster er mange "elegante" og enkle prosedyrer, for eksempel for å trekke røtter i skrift.

Tallene våre ( indiske sifre ) for desimalene er direkte avledet fra den indiske Devanagari . Den tidligste bruken av tallet 0 er datert rundt 400 e.Kr. Aryabhata rundt 500 og Bhaskara rundt 600 brukte dem allerede uten å nøle, hans samtidige Brahmagupta regnet til og med med dem som et tall og kjente negative tall. Navngivelsen av tallene i forskjellige kulturer er inkonsekvent: Araberne kaller disse (adopterte Devanagari) -sifrene "indiske tall", europeerne "arabiske tall" basert på middelalderens mottakshistorie og japanerne av en analog grunn Romaji , dvs. latinske eller romerske tegn (sammen med det latinske alfabetet). Europeerne forstår at " romertall " betyr noe annet.

Med utbredelsen av islam mot øst, rundt 1000 til 1200 senest, tok den muslimske verden over mange av den indiske kunnskapen; islamske lærde oversatte indiske verk til arabisk, som også nådde Europa via denne ruten. En bok av den persiske matematikeren Muhammad ibn Musa Chwarizmi ble oversatt til latin i Spania på 1100 -tallet. De indiske tallene (figurae Indorum) ble først brukt av italienske kjøpmenn. Rundt 1500 var de kjent i det som nå er Tyskland.

En annen viktig matematiker var astronomen Bhaskara II (1114–1185).

Matematikk i islams storhetstid

I den islamske verden var hovedstaden i Bagdad sentrum for matematikk. De muslimske matematikerne adopterte indisk posisjonsregning og sinus og videreutviklet gresk og indisk trigonometri , la til gresk geometri og oversatte og kommenterte grekernes matematiske verk. Den viktigste matematiske prestasjonen til muslimene er etableringen av dagens algebra. Denne kunnskapen kom til Europa via Spania, korstogene og italiensk sjøhandel. På oversettelsesskolen i Toledo ble for eksempel mange av de arabiske skriftene oversatt til latin.

Følgende faser kan skilles:

• Tidlig periode: Al-Khwarizmi (rundt 820 AD), er navnet på ordet “ algoritmen ” (beregning på samme måte som Algorismi), skrev De numero indorum , i hvilken det indiske stilling system er beskrevet, og Al-jabr Wa'l muqabalah (samling av øvelser for kjøpmenn og embetsmenn, finnes i ordet " Algebra "); andre matematikere: Thabit ibn Qurra , al-Battani ( Albategnius ), al-Jawhari , Abu l-Wafa .
• Høy blomstring: rundt 1000 e.Kr. al-Karaji utvidet algebra; den persiske legen, filosofen og matematikeren Avicenna (Ibn Sina) understreket viktigheten av matematikk; al-Biruni ; Ibn al-Haitham (Alhazen).
• Sen periode: Den persiske poeten og matematikeren Omar Chayyām (rundt 1100) skrev en lærebok for algebra; andre viktige matematikere på denne tiden var Nasir al-Din al-Tusi (rundt 1250) og al-Kashi (rundt 1400).

• 

  Al-Khwarizmi

• 

  Al-Tusi

• 

  Abu l-Wafa

• 

  Ibn Sina

Maya matematikk

Vår kunnskap om matematikk og astronomi (kalenderberegning) til Mayaene kommer hovedsakelig fra Dresden Codex . Maya -tallet er basert på basen 20. Grunnen til dette antas å være at forfedrene til Mayaene telles med fingre og tær ^[6] . Mayaene kjente tallet 0, men brukte ikke brøk. For å representere tall brukte de prikker, linjer og sirkler, som stod for sifrene 1, 5 og 0. Mayaens matematikk var høyt utviklet, sammenlignbar med de høye kulturene i Orienten. De brukte dem til kalenderberegninger og til astronomi. Mayakalenderen var den mest nøyaktige i sin tid.

Matematikk i Europa

Matematikk i middelalderen

Middelalderen som en epoke av europeisk historie begynte rundt slutten av Romerriket og varte til renessansen . Historien til denne tiden ble bestemt av den store migrasjonen og kristendommens fremvekst i Vest -Europa. Nedgangen i Romerriket førte til et vakuum som bare ble kompensert i Vest -Europa av fremveksten av det frankiske riket . I løpet av opprettelsen av en ny politisk orden av frankene kom den såkalte karolingiske renessansen . Gammel kunnskap ble først bevart i klostre. I senere middelalder ble klosterskoler erstattet av universiteter som læringssentre. En viktig berikelse av vesteuropeisk vitenskap fant sted ved at den arabiske tradisjonen og videreutviklingen av gresk matematikk, medisin og filosofi samt den arabiske tilpasningen av indisk matematikk og numerisk skriving ble kjent i Vesten gjennom oversettelser til latin. Kontaktene til arabiske lærde og deres forfatterskap oppstod på den ene siden som et resultat av korstogene i Midtøsten og på den andre siden gjennom kontakter med araberne i Spania og Sicilia, i tillegg var det handelskontakter, spesielt med italienerne i Middelhavsområdet, som for eksempel Leonardo da Pisa (“Fibonacci”) skyldte noe av hans matematiske kunnskap.

Stigningen av klosterskolene

Boëthius (ca. 480-524) står på grensen mellom Romerriket og begynnelsen på det nye. Hans introduksjon til regning dannet grunnlaget for å undervise i dette emnet fram til slutten av middelalderen; Innflytelsesrik, om enn i mindre grad, var introduksjonen til geometri. I 781 utnevnte Karl den store lærde Alcuin fra York (735-804) til å lede hoffskolen, som skulle utvikle utdanningssystemet til det frankiske riket. Han ble også kalt "Læreren i vestfrankonerne". En elev fra Alkuin grunnla skolesystemet i det østlige frankiske riket, Rabanus Maurus fra Mainz. Matematisk undervisningsinnhold ble undervist i henhold til klassifiseringen av de syv liberale kunstene i de fire fagene i quadrivium :

• Aritmetikk: Egenskapene og talltypene (f.eks. Partall, oddetall, primtall, areal og kroppstall) samt proporsjoner og tallforhold, i hvert tilfelle ifølge Boëthius, også grunnleggende kunnskap om greske og latinske tall , grunnleggende regning, finger aritmetikk og på 1000- til 1100-tallet. Century abacus , siden 1200 -tallet også skrevet regning med arabiske tall
• Geometri: elementer i euklidisk geometri, måling og landmåling, geografi og z. T. også historie
• Astronomi: Grunnleggende kunnskap om ptolemaisk astronomi og z. Dels også astrologi , bruk av astrolab siden 900 -tallet, samt beregning for å beregne påskedato og de flyttbare festivalene i kirkeåret
• Musikk: teori om harmoni i henhold til de numeriske proporsjonene til de gamle kirkemodiene

Følgende regnebøker opprettet i klostre er kjente: Øvelser for å skjerpe tankene til unge mennesker (rundt 800) (tidligere tilskrevet Alcuin von York), øvelsene fra Annales Stadenses (Stade Abbey) (rundt 1180) og Practica of Algorism Ratisbonensis (Emmeram Abbey, Regensburg) (rundt 1450).

Beregning av påskedato

Beregningen av datoen for påske , den viktigste festivalen i kristendommen , spilte en stor rolle i matematikkens fremskritt i middelalderen. Karl den store bestemte at en munk måtte håndtere databehandling i hvert kloster. Dette bør sikre kunnskap om beregningen av påskedato . Den nøyaktige beregningen av datoen og utviklingen av den moderne kalenderen ble videreutviklet av disse munkene, det grunnleggende ble overtatt av middelalderen fra Dionysius Exiguus (ca. 470 til ca. 540) og Beda den ærverdige (ca. 673- 735). I 1171 publiserte Reinher von Paderborn en forbedret metode for å beregne påskedatoen.

Universiteter

De tidlige middelalderske klosterskolene ble først supplert senere i middelalderen av katedralskolene , skolene i mendikantordene og universitetene. De var derfor i utgangspunktet de eneste bærerne av den gamle kulturarven ved å sikre at gamle verk ble kopiert og distribuert. I lang tid var kopiering, kommentar og kompilering av undervisningsmaterialet den eneste formen for å behandle temaene matematikk. Det var først i høymiddelalderen at den noe mer kritiske metoden for skolastikk utviklet seg , der doktrinære meninger ble sjekket for motsetninger i deres pro og kontra, og disse ble løst så langt som mulig i samsvar med de kirkelige og gamle myndigheters standpunkt , som ble sett på som grunnleggende.

Denne metoden ble brukt på representasjonene av gammel vitenskap, spesielt Aristoteles, fra 1100 -tallet. På 1100 -tallet ble universitetene i Paris og Oxford det europeiske senteret for vitenskapelig aktivitet. Robert Grosseteste (1168–1253) og hans student Roger Bacon (1214–1292) designet et nytt vitenskapelig paradigme. Ikke appellen til kirkelige eller eldgamle myndigheter, men eksperimentet burde vesentlig avgjøre vurderingen av korrekthet. Pave Clement IV ba Roger Bacon i 1266 om å dele sine synspunkter og forslag for å rette opp manglene i vitenskapen. Bacon skrev flere bøker som svar, inkludert Opus Maius . Bacon påpekte viktigheten av matematikk som nøkkelen til vitenskap; han behandlet spesielt geometrien som ble brukt på optikk. Dessverre døde paven før boken nådde ham. Et annet viktig bidrag fra Bacon gjelder kalenderreformen, som han etterlyste, men som ikke ble implementert før i 1582 som den gregorianske kalenderreformen .

• 

  Robert Grosseteste

• 

  Roger Bacon

• 

  Nicholas av Oresme

• 

  William av Ockham

En viktig metodologisk utvikling i vitenskapen var kvantifisering av kvaliteter som en nøkkel for den kvantitative beskrivelsen av prosesser. Nikolaus von Oresme (1323-1382) var en av de første som taklet endringen i intensitet. Oresme studerte forskjellige former for bevegelse. Han utviklet en slags funksjonell beskrivelse ved å plotte hastighet mot tid. Han klassifiserte de forskjellige bevegelsesformene og lette etter funksjonelle forbindelser.

Oresme, men også Thomas Bradwardine (1295–1349), Wilhelm von Ockham (1288–1348), Johannes Buridan (ca. 1300 til ca. 1361) og andre lærde fra Merton College undersøkte den funksjonelle beskrivelsen av forholdet mellom hastighet, kraft og plassering, kort sagt: de omhandlet kinetikk . Det er også gjort metodisk viktige fremskritt. Grosseteste formulerte prinsippet om naturens ensartethet, ifølge hvilken legemer av samme natur oppfører seg på samme måte under de samme forholdene. Her blir det klart at selv da var de lærde klar over at omstendighetene der bestemt oppførsel vurderes må sjekkes hvis sammenligninger skal gjøres. Videre formulerte Grosseteste prinsippet for beskrivelsesøkonomien, ifølge hvilken under samme omstendigheter de argumenter som er å foretrekke som krever færre spørsmål som skal besvares eller færre forutsetninger for fullstendig bevis. William Ockham var en av datidens største logikere; Ockhams barberhøvel er kjent, et prinsipp som sier at en teori alltid bør inneholde så få forutsetninger og begreper som mulig.

Den gangs lærde var ofte teologer også. Opptattheten av åndelige spørsmål som f.eks B. Guds allmakt førte dem til spørsmål om det uendelige. I denne sammenhengen bør nevnes Nikolaus von Kues (Nikolaus Cusanus) (1401–1464), som var en av de første som beskrev verdens uendelighet før Galileo eller Giordano Bruno . Hans prinsipp om coincidentia oppositorum vitner om en dyp filosofisk opptatthet av temaet uendelig.

Praktisk matematikk

Mot slutten av middelalderen dukket Europas katedraler opp, konstruksjonen som stilte helt nye krav til mestring av statikk og utfordret teknologisk dyktighet på dette området. I denne sammenhengen ble også geometriske problemer behandlet gjentatte ganger. En viktig lærebok som omhandler arkitektur er Bauhütten -boken av Villard de Honnecourt .

Innenfor måling av geometri ble det gjort jevne fremskritt gjennom middelalderen, spesielt geodetikken til geodesikk på 1000 -tallet, basert på en bok av Boëthius , og på 1100 -tallet den mer konvensjonelle Geometria practica av Hugo von St. Victor ( 1096 -1141). På 1200-tallet beskrev Levi ben Gershon (1288–1344) et nytt måleinstrument, den såkalte Jacobs stav .

Begynnelsen på pengeøkonomien

Med begynnelsen på en økonomi som ikke var basert på utveksling av varer, men på penger, dukket det opp nye anvendelsesområder for matematikk. Dette gjelder spesielt Italia, som den gang var et omlastingspunkt for varer til og fra Europa, og hvis ledende rolle innen finans og bank på det tidspunktet fremdeles er tydelig i dag i bruk av ord som "konto", "brutto" "Og" netto ". Påvirker. I denne sammenhengen bør Leonardo da Pisa, kalt Fibonacci , og hans Liber abbaci nevnes spesielt, som ikke har noe med abacus som beregningstavle å gjøre, men heller ordet abacus eller "abbacco" som et synonym for, iflg. et språk som dukket opp i Italia på den tiden Matematikk og regning ble brukt. I matematikken til Fibonacci fant en syntese av kommersiell regning, tradisjonell gresk-latinsk matematikk og nye metoder for arabisk og (arabisk-mediert) indisk matematikk sted, som var unik i middelalderen. Mathematisch weniger anspruchsvoll, dafür mehr an den praktischen Erfordernissen von Bank- und Kaufleuten ausgerichtet, waren die zahlreichen Rechenbücher, die als Lehrbücher zur praktischen und merkantilen Arithmetik seit dem 14. Jahrhundert in italienischer Sprache verfasst wurden.

Mathematik der frühen Neuzeit

Arabische Mathematik kam über Spanien, wo im Zuge der Reconquista die Mauren aus Europa vertrieben wurden, und über Handelsbeziehungen nach Europa und ihre Mathematik beeinflusste in der Folge die europäische grundlegend. Begriffe wie Algebra , Algorithmus sowie die arabischen Ziffern gehen darauf zurück. In der Renaissance wurden die antiken Klassiker und andere Werke durch weite Verbreitung über den Buchdruck allgemein zugänglich. ^[7] Die Kunst der Renaissance führte zur Entwicklung der Perspektive (ua Albrecht Dürer , Filippo Brunelleschi , Leon Battista Alberti , Piero della Francesca ) und Darstellenden Geometrie und die damit zusammenhängende projektive Geometrie ( Gérard Desargues ) hatte ebenfalls im Architekturwesen ihren Ursprung. Die Entdeckungsreisen führten zu Entwicklungen in Kartographie und Navigation (das lange akute Längengradproblem ) und die Landvermessung ( Geodäsie ) war für die Entwicklung der Territorialstaaten von Bedeutung. Praktische Erfordernisse von Ingenieuren (nicht zuletzt militärischer Art) wie Simon Stevin (Dezimalbrüche) und Astronomen führten zu Verbesserungen der Rechentechnik, insbesondere durch Erfindung der Logarithmen ( John Napier , Jost Bürgi ).

In Deutschland erklärte der sprichwörtliche Adam Ries(e) seinen Landsleuten in der Landessprache das Rechnen, und die Verwendung der indischen Ziffern statt der unpraktischen römischen wurde populär. Im Jahr 1544 wurde in Nürnberg Arithmetica integra , eine Zusammenfassung der damals bekannten Arithmetik und Algebra von Michael Stifel , gedruckt. ^[8] In Frankreich entdeckte René Descartes , dass man Geometrie, die bis dahin nach Euklid gelehrt wurde, auch algebraisch beschreiben kann und umgekehrt algebraische Gleichungen geometrisch deuten kann ( Analytische Geometrie ) nach Einführung eines Koordinatensystems . Ein Briefwechsel zwischen Blaise Pascal und Pierre de Fermat im Jahr 1654 über Probleme von Glücksspielen gilt als Geburt der klassischenWahrscheinlichkeitsrechnung .

• 

  Adam Ries(e)

• 

  Michael Stifel

• 

  René Descartes

• 

  Blaise Pascal

• 

  Pierre de Fermat

Blaise Pascal war auch einer der Begründer der Kombinatorik ( Binomialkoeffizienten , Pascalsches Dreieck ) und baute eine der ersten Rechenmaschinen. François Viète verwendete systematisch Variablen (Unbekannte) in Gleichungen. Damit wurde die Algebra weiter formalisiert. Pierre de Fermat, der hauptberuflich Richter war, lieferte wichtige Resultate zur Variationsrechnung und in der Zahlentheorie (Lösung von algebraischen Gleichungen in den ganzen Zahlen, sogenannte Diophantische Probleme ), insbesondere den „ kleinen Fermatschen Satz “ und formulierte den „ großen Fermatschen Satz “. Er behauptete, dass die Gleichung ${\displaystyle {\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">x</span></span>}}^{\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">n</span></span>}}<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">+</span></span>{\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">y</span></span>}}^{\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">n</span></span>}}<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">=</span></span>{\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">z</span></span>}}^{\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">n</span></span>}}}${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}} keine positiven ganzzahligen Lösungen hat, falls ${\displaystyle \mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">n</span></span>}<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">\ge </span></span>\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">3</span></span>}}${\displaystyle n\geq 3} . Am Rand seiner Ausgabe der Arithmetica von Diophant von Alexandrien schrieb er dazu den Satz: „Ich habe einen wunderbaren Beweis gefunden, doch leider ist dafür der Rand zu schmal“. Jahrhundertelang suchten Mathematiker vergeblich nach diesem angeblichen Beweis. Der Beweis des Satzes gelang erst Jahrhunderte später (1995) mit Fermat nicht zugänglichen Methoden (siehe unten). In Italien fanden Cardano und Tartaglia die algebraische Formel für die Lösungen der kubischen Gleichung , Ferrari der Gleichung 4. Grades. Die Suche nach weiteren Lösungsformeln höherer Gleichungen fand erst durch die Galoistheorie im 19. Jahrhundert ein Ende.

Entwicklung der Infinitesimalrechnung

Das Problem, Tangenten an Kurven ( Differentialrechnung ) und Flächen unter Kurven ( Integralrechnung ) zu bestimmen, beschäftigte viele Mathematiker des 17. Jahrhunderts, mit wichtigen Beiträgen zum Beispiel von Bonaventura Cavalieri , Johannes Kepler , Gilles de Roberval , Pierre de Fermat , Evangelista Torricelli , René Descartes, Isaac Barrow (mit Einfluss auf Newton) und Christian Huygens (der besonders Leibniz beeinflusste). ^[9]

Unabhängig voneinander entwickelten Isaac Newton und Leibniz eine der weitreichendsten Entdeckungen der Mathematik, die Infinitesimalrechnung und damit den Begriff der Ableitung und des Zusammenhangs von Differential- und Integralrechnung über den Fundamentalsatz der Analysis . Um der Problematik der unendlich kleinen Größen beizukommen, argumentierte Newton hauptsächlich über Geschwindigkeiten (Fluxionen) . Leibniz gab eine elegantere Formulierung des Infinitesimalkalküls und begründete die Bezeichnung ${\displaystyle \frac{\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">d</span></span>}}{\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">d</span></span>}\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">x</span></span>}}}${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}} sowie das Integralzeichen ${\displaystyle <span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">\int </span></span>}${\displaystyle \textstyle \int } . Zwischen den beiden Mathematikern und ihren Schülern kam es später zu einem langwierigen Prioritätsstreit, ^{[10] [11]} der sich auch zu einem Gegensatz kontinentaleuropäischer und englischer Mathematik zuspitzte. Der vielseitig, aber eher philosophisch interessierte Leibniz kam zwar in Hinsicht auf mathematische Fähigkeiten nicht an den in persönlicher Hinsicht sehr schwierigen und streitbaren Newton heran (Leibniz hatte zuvor in Briefwechsel mit Newton gestanden, der das so sah, dass er ihm auf diese Weise wesentliche eigene Ergebnisse zukommen ließ, die Newton nicht veröffentlicht hatte, aber unter ausgewählten Mathematikern zirkulieren ließ), erhielt aber Unterstützung durch kontinentaleuropäische Mathematiker, besonders den begabten Mathematikern der Familie Bernoulli aus der Schweiz.

Gleichzeitig legte Isaac Newton die Grundlagen der theoretischen Mechanik und theoretischen Physik in seinem berühmten Hauptwerk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica . Er verwendete darin zwar nicht die Sprache der Analysis, sondern formulierte seine Sätze im klassischen geometrischen Stil, den Zeitgenossen war aber klar, dass er sie mit Hilfe der Analysis gewonnen hatte und in dieser Sprache wurden die theoretische Physik und Mechanik dann auch im 18. Jahrhundert ausgebaut.

Von Leibniz wiederum stammen auch Ideen zu einer universalen Algebra, Determinanten , Binärzahlen und eine Rechenmaschine .

Mathematik im 18. Jahrhundert

Die Methoden der Infinitesimalrechnung wurden weiter entwickelt, auch wenn die Anforderungen an mathematische Strenge damals noch sehr gering waren, was einige Philosophen wie zum Beispiel George Berkeley scharf kritisieren. Einer der produktivsten Mathematiker jener Zeit war der Schweizer Leonhard Euler . Ein Großteil der heute verwendeten „modernen“ Symbolik geht auf Euler zurück. Neben seinen Beiträgen zur Analysis führte er, neben vielen anderen Verbesserungen in der Notation, als erster das Symbol i als eine Lösung der Gleichung x ² = −1 ein. Die Vorgeschichte der komplexen Zahlen ging bis auf Cardano und andere Renaissance-Mathematiker zurück, diese Erweiterung des Zahlbereichs bereitete aber noch lange der Vorstellungskraft der meisten Mathematiker Schwierigkeiten und ihren wirklichen Durchbruch in der Mathematik erzielten sie erst im 19. Jahrhundert, nachdem auch eine geometrische Interpretation als zweidimensionale Vektoren entdeckt wurde ( Caspar Wessel 1799, Jean-Robert Argand , Gauß). Von Euler stammen auch zahlreiche Anwendungen der Mathematik in der Physik und Mechanik.

Außerdem spekulierte Euler darüber, wie eine Analysis situs aussehen könne, der Beschreibung von Lagebeziehungen von Objekten ohne Verwendung einer Metrik (Längen- und Winkelmessung). Diese Idee wurde später zum Theoriegebäude der Topologie ausgebaut. Eulers erster Beitrag dazu war die Lösung des Königsberger Brückenproblems und sein Polyedersatz . Ein weiterer fundamentaler Zusammenhang zwischen zwei entfernten Gebieten der Mathematik, der Analysis und der Zahlentheorie , geht ebenfalls auf ihn zurück. Die Verbindung von Zeta-Funktion und Primzahlen , die Bernhard Riemann im 19. Jahrhundert zu einer Grundlage der analytischen Zahlentheorie machte, entdeckte Euler als erster. Weitere Beiträge zur Analysis der Zeit und ihrer Anwendung stammten von den Bernoullis (insbesondere Johann I Bernoulli , Daniel Bernoulli ), Lagrange undD'Alembert , insbesondere dem Ausbau und der Anwendung der Variationsrechnung auf die Lösung vieler Probleme der Mechanik. Ein Zentrum der Entwicklung war Frankreich und Paris, wo nach der Französischen Revolution und unter Napoleon die Mathematik in neu gegründeten Ingenieursschulen (besonders der Ecole Polytechnique ) einen großen Aufschwung nahm. Mathematiker wie Jakob I Bernoulli am Anfang des Jahrhunderts, Abraham de Moivre , Laplace und Thomas Bayes in England bauten die Wahrscheinlichkeitstheorie aus.

Lagrange leistete wichtige Beiträge zur Algebra (quadratische Formen, Gleichungstheorie) und Zahlentheorie, Adrien-Marie Legendre zu Analysis (Elliptische Funktionen ua) und zur Zahlentheorie und Gaspard Monge zur Darstellenden Geometrie.

• 

  Leonhard Euler

• 

  Johann I Bernoulli

• 

  Jakob I Bernoulli

• 

  Jean Baptiste Joseph Fourier

• 

  Joseph-Louis Lagrange

Mathematik im 19. Jahrhundert

Ab dem 19. Jahrhundert wurden die Grundlagen der mathematischen Begriffe hinterfragt und fundiert. Augustin-Louis Cauchy begründete die ${\displaystyle \mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">ϵ</span></span>}}${\displaystyle \epsilon } -Definition des Grenzwertes . Außerdem legte er die Grundlagen der Funktionentheorie . Der enge Zusammenhang von Entwicklung von Physik und Mechanik und der Analysis aus dem 18. Jahrhundert blieb bestehen und viele Mathematiker waren gleichzeitig theoretische Physiker, was man damals noch nicht trennte. Ein Beispiel für den Zusammenhang ist die Entwicklung der Fourieranalyse durch Joseph Fourier . Eines der zentralen Themen des 19. Jahrhunderts war die Untersuchung spezieller Funktionen, besonders Elliptischer Funktionen und deren Verallgemeinerungen (eine wichtige Rolle spielten hier Niels Henrik Abel und Carl Gustav Jacobi ) und algebraische Geometrie von Kurven und Flächen mit Verbindungen zur Funktionentheorie (ua Bernhard Riemann mit seiner Idee der Riemannschen Fläche , Alfred Clebsch , Felix Klein und die italienische Schule bei algebraischen Flächen). Es wurden eine Fülle von Einzelresultaten auf den verschiedensten Gebieten entdeckt, deren Ordnung und strenge Begründung aber häufig erst im 20. Jahrhundert erfolgen konnte. Ein großes Beschäftigungsfeld von Mathematikern und Quelle für Entwicklungen in der Mathematik blieb wie im 18. Jahrhundert die Himmelsmechanik .

Der jung in der Folge eines Duells getötete Franzose Évariste Galois verwendete in seiner Galoistheorie Methoden der Gruppentheorie , um die Lösbarkeit algebraischer Gleichungen zu untersuchen, was zum Beweis der allgemeinen Nichtauflösbarkeit von polynomialen Gleichungen (Grad 5 und höher) durch Radikale (Wurzeloperationen) führte. Dies wurde unabhängig von Niels Henrik Abel gezeigt. Auch mit Hilfe der Galoistheorie wurden einige der klassischen Probleme der Antike als nicht lösbar erkannt, nämlich die Dreiteilung des Winkels und die Verdoppelung des Würfels (das gelang allerdings auch Pierre Wantzel ohne Galoistheorie). Die Quadratur des Kreises wurde erst durch Beweis der Transzendenz von ${\displaystyle \mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">\pi </span></span>}}${\displaystyle \pi } durch Ferdinand Lindemann erledigt. Es entstanden neue Geometrien, insbesondere die Projektive Geometrie ( Jean-Victor Poncelet , Jakob Steiner , Karl von Staudt ) wurde stark ausgebaut und Felix Klein ordnete diese und andere Geometrien mit Hilfe des Konzepts der Transformationsgruppe ( Erlanger Programm ).

Die Algebraiker erkannten, dass man nicht nur mit Zahlen rechnen kann; alles, was man braucht, sind Verknüpfungen. Diese Idee wurde in Gruppen (zum Beispiel Galois, Arthur Cayley , Camille Jordan , Ferdinand Georg Frobenius ), Ringen , Idealen und Körpern (unter anderem Galois, endliche Körper werden nach Galois Galois-Körper genannt) formalisiert, wobei Algebraiker in Deutschland wie Richard Dedekind , Leopold Kronecker eine wichtige Rolle spielten. Der Norweger Sophus Lie untersuchte die Eigenschaften von Symmetrien . Durch seine Theorie wurden algebraische Ideen in die Analysis und Physik eingeführt. Die modernen Quantenfeldtheorien beruhen im Wesentlichen auf Symmetriegruppen. Das Vektorkonzept entstand (unter anderem durch Hermann Grassmann ) und das dazu konkurrierende Konzept der Quaternionen (durch William Rowan Hamilton ), einem Beispiel der vielen neu entdeckten algebraischen Strukturen, sowie die moderne Theorie der Matrizen (Lineare Algebra).

In Göttingen wirkten zwei der einflussreichsten Mathematiker der Zeit, Carl Friedrich Gauß und Bernhard Riemann . Neben fundamentalen Erkenntnissen in der Analysis, Zahlentheorie, Funktionentheorie schufen sie und andere die Differentialgeometrie mit dem Begriff der Krümmung und der weitgehenden Verallgemeinerung in höhere Dimensionen durch Riemann ( Riemannsche Geometrie ). Die Nichteuklidische Geometrie machte die Begrenztheit des jahrhundertelang gelehrten Euklidischen Axiomensystems deutlich und wurde durch Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski und János Bolyai begründet (ihre Existenz war auch Gauß bekannt, der aber nichts darüber veröffentlichte). Gauß legte mit seinen Disquisitiones Arithmeticae die Grundlagen der Algebraischen Zahlentheorie und bewies den Fundamentalsatz der Algebra .

In Berlin begründete insbesondere Karl Weierstraß eine mathematische Schule der strengen Grundlegung der Analysis und der Begründung der Funktionentheorie auf Potenzreihen, während Riemann die geometrische Funktionentheorie begründete und dabei die Rolle der Topologie herausstellte. Die Schülerin von Weierstraß Sofja Wassiljewna Kowalewskaja war eine der ersten Frauen, die eine prominente Rolle in der Mathematik einnahmen, und die erste Professorin in Mathematik.

Georg Cantor überraschte mit der Erkenntnis, dass es mehr als eine „Unendlichkeit“ geben kann. Er definierte zum ersten Mal, was eine Menge ist, und wurde somit der Gründer der Mengenlehre . Gegen Ende des 19. Jahrhunderts nahm Henri Poincaré eine führende Rolle in der Mathematik ein, unter anderem gelangen ihm wesentliche Fortschritte in der algebraischen Topologie und der qualitativen Theorie der Differentialgleichungen, was ihn später zu einem Vorläufer der Chaostheorie machte.

Die neu gestiegenen Forderungen an die Strenge von Beweisen und Bemühungen um Axiomatisierung von Teilgebieten der Mathematik vertraten etwa Richard Dedekind bei den reellen Zahlen, Giuseppe Peano bei den natürlichen Zahlen und David Hilbert in der Geometrie. Nach Tausenden von Jahren erfuhr die Logik eine Runderneuerung. Gottlob Frege erfand die Prädikatenlogik , die erste Neuerung auf diesem Gebiet seit Aristoteles . Zugleich bedeuteten seine Arbeiten den Anfang der Grundlagenkrise der Mathematik .

Frankreich hatte nach der Französischen Revolution einen großen Aufschwung in der Mathematik erlebt, Deutschland zog Anfang des Jahrhunderts mit der dominierenden Forschungspersönlichkeit von Gauß nach, der allerdings keine Schule bildete und wie Newton die Angewohnheit hatte, selbst wesentliche neue Entdeckungen nicht zu veröffentlichen. Das deutsche System der Forschungsseminare an den Universitäten bildete sich zuerst in Königsberg und war dann zentraler Bestandteil der Lehre in den mathematischen Zentren in Göttingen und Berlin und wirkte dann auch darüber hinaus zum Beispiel in die USA, für die Deutschland in der Mathematik prägend war. Auch in Italien nahm die Mathematik nach der Unabhängigkeit des Landes einen großen Aufschwung, besonders in der algebraischen Geometrie (italienische Schule von Francesco Severi , Guido Castelnuovo und Federigo Enriques ) und den Grundlagen der Mathematik (Peano). Großbritannien hatte insbesondere einen Wirkungsschwerpunkt in der theoretischen Physik, ihre mathematischen Schulen neigten aber immer wieder zu Sonderwegen, die sie von Kontinentaleuropa isolierten, so im hartnäckigen Festhalten am Newtonschen Stil der Analysis im 18. Jahrhundert und in der Betonung der Rolle der Quaternionen Ende des 19. Jahrhunderts. Der zuletzt in Göttingen neben Hilbert wirkende, gut vernetzte Felix Klein nahm gegen Ende des Jahrhunderts in Deutschland eine in vieler Hinsicht führende Stellung ein und organisierte ein Enzyklopädieprojekt der Mathematik und ihrer Anwendungen, das auch französische Mathematiker einschloss. Die Niederlage im Deutsch-Französischen Krieg von 1870/71 wirkte auf viele französische Mathematiker als Ansporn wie auf anderen Gebieten auch einen vermeintlichen Rückstand zum aufstrebenden deutschen Reich aufzuholen, der zu einer neuen Blüte der französischen Mathematik führte. Der Erste Weltkrieg führte zu einem Bruch der Beziehungen auch in der Mathematik.

Moderne Mathematik

Das 20. Jahrhundert erlebte einen beispiellosen, die vorangehenden Jahrhunderte in den Schatten stellenden Ausbau der Mathematik sowohl in der Breite als auch in der Tiefe. Die Zahl der Mathematiker und Anwender der Mathematik nahm stark zu, auch was die Zahl der Herkunftsländer und Frauen betraf. Amerika und die Sowjetunion übernahmen vor allem nach dem Zweiten Weltkrieg zusätzlich zu den traditionellen mitteleuropäischen Nationen eine Führungsrolle, aber auch Länder wie Japan und China nach Öffnung zum Westen. Die Mathematik wurde durch die großen technologischen Fortschritte im 20. Jahrhundert und insbesondere die Digitalisierung zu einer Schlüssel-Disziplin.

Hilbert formulierte 1900 eine Reihe von berühmten Problemen ( Hilbertsche Probleme ), die vielfach als Richtschnur für den weiteren Fortschritt dienten und von denen die meisten im Lauf des 20. Jahrhunderts gelöst oder einer Lösung nähergebracht wurden. Ein Anliegen der modernen Mathematik war das Bedürfnis, die Grundlagen dieser Wissenschaft ein für alle Mal zu festigen. Allerdings begann dies mit einer Krise Anfang des 20. Jahrhunderts: Bertrand Russell erkannte die Bedeutung von Freges Arbeiten. Gleichzeitig entdeckte er allerdings auch unlösbare Widersprüche darin, die mit Paradoxien des Unendlichen zusammenhingen ( Russellsche Antinomie ). Diese Erkenntnis erschütterte die gesamte Mathematik. Mehrere Versuche zur Rettung wurden unternommen: Russell und Alfred North Whitehead versuchten in ihrem mehrtausendseitigen Werk Principia Mathematica mit Hilfe der Typentheorie ein Fundament aufzubauen. Alternativ dazu begründeten Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel die Mengenlehre axiomatisch ( Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ). Letztere setzte sich durch, weil ihre wenigen Axiome wesentlich handlicher sind als die schwierige Darstellung der Principia Mathematica .

Der Zweifel an den Grundlagen blieb aber bestehen. David Hilbert , der eine berühmte Schule in Göttingen begründet hatte und die unterschiedlichsten mathematischen Disziplinen revolutioniert hatte (von der Geometrie, der algebraischen Zahlentheorie, der Funktionalanalysis mit Beiträgen zur Physik bis zu den Grundlagen der Mathematik), sich allerdings in einzelnen Schaffensperioden im Wesentlichen einem Gebiet widmete und frühere Forschungsgebiete völlig aufgab, wandte sich in seiner letzten Schaffensphase den Grundlagen der Mathematik und der Formalisierung mathematischer Beweise zu. Beweise waren für Hilbert und seine formalistische Schule nur eine Folge von Ableitungen aus Axiomen, eine Folge von Symbolen, und einem berühmten Ausspruch von Hilbert zufolge, der sich auf die Axiomatisierung der Geometrie bezog, sollte man Punkte, Geraden und Ebenen in der Formelsprache jederzeit durch Tische, Stühle und Bierseidel ersetzen können, wichtig waren nur die Axiome und Ableitungsregeln. Kurt Gödels Unvollständigkeitssatz zeigte jedoch, dass es in jedem formalen System, das umfangreich genug ist, um die Arithmetik der natürlichen Zahlen aufzubauen, Sätze gibt, die weder bewiesen noch widerlegt werden können. Mathematiker und Logiker wie Gerhard Gentzen bewiesen die Widerspruchsfreiheit von Teilgebieten der Mathematik (jeweils unter Rückgriff auf diese Teilgebiete überschreitende Prinzipien). Eine andere Richtung, die mit demIntuitionismus Brouwers , der zuvor auch einer der Begründer der mengentheoretischen Topologie war, Anfang des Jahrhunderts einsetzte, versuchte eine von endlichen Schritten ausgehende konstruktive Mathematik aufzubauen, bei der man allerdings auf wichtige Sätze der Mathematik verzichten muss.

Neben der Logik wurden andere Bereiche der Mathematik zunehmend abstrahiert und auf axiomatische Grundlagen gestellt, worin besonders David Hilbert mit seiner Schule eine führende Rolle hatte. Französische Mathematiker wie Henri Lebesgue ( Lebesgue-Integral ), Jacques Hadamard und Emile Borel (Maßtheorie), die Hilbert-Schule in Göttingen und die polnische Schule unter ihrer Leitfigur Stefan Banach waren Zentren der Entwicklung der Funktionalanalysis , das heißt der Untersuchung unendlich dimensionaler Funktionenräume. Mit Hilfe der Banachräume und ihrer Dualitäten können viele Probleme, zum Beispiel der Integralgleichungen , sehr elegant gelöst werden. Die polnische Schule der Zwischenkriegszeit war auch führend in Topologie und mathematischer Grundlagenforschung und auch die russischen Mathematiker hatten anfangs einen Schwerpunkt in Funktionalanalysis ( Lusin-Schule , Andrei Kolmogorow ) und Topologie (ua Pawel Sergejewitsch Alexandrow , Lew Pontrjagin ). Die Mathematik wurde durch die Entwicklung neuer physikalischer Theorien befruchtet, insbesondere der Quantenmechanik (mit Verbindung insbesondere zur Funktionalanalysis) und die Relativitätstheorie , das den Tensorkalkül und die Differentialgeometrie beförderte. Die Distributionen ( Laurent Schwartz , Sergei Lwowitsch Sobolew ) der Funktionalanalysis führte zuerst Paul Dirac in der Quantenmechanik ein. Diese wiederum profitierte von der Entwicklung der Spektraltheorie linearer Operatoren (linearer Algebra in unendlich vielen Dimensionen).

Andrei Kolmogorow lieferte eine axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeit . Die Wahrscheinlichkeit ist für ihn ähnlich dem Flächeninhalt und kann mit Methoden der Maßtheorie behandelt werden. Damit erhielt dieses Gebiet eine sichere Grundlage, auch wenn die Auseinandersetzungen über Interpretationsfragen andauerten (siehe auch Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung ). Eine große Quelle „nützlicher Mathematik“ war die Entwicklung vielfältiger statistischer Methoden ( Ronald Aylmer Fisher , Karl Pearson , Abraham Wald , Kolmogorow und andere) mit breiten Anwendungen im Versuchswesen, der Medizin, aber auch in den Sozial- und Geisteswissenschaften, der Marktforschung und Politik.

Die führende Rolle der Hilbertschen Schule endete mit dem Nationalsozialismus, der sich auch in der Mathematik bei den Vertretern der Deutschen Mathematik ausprägte, und der Vertreibung eines Großteils der jüdischen Wissenschaftler aus ihren Universitätsstellen. Viele fanden Zuflucht in den USA und anderswo und befruchteten dort die Entwicklung der Mathematik.

Im Zweiten Weltkrieg entstand großer Bedarf an der Lösung konkreter mathematischer Probleme für militärische Belange, beispielsweise bei der Entwicklung der Atombombe, des Radars oder der Entschlüsselung von Codes. John von Neumann wie Alan Turing , der in der Theorie der Berechenbarkeit zuvor das abstrakte Konzept einer universalen Rechenmaschine entwickelt hatte, arbeiteten an konkreten Computerprojekten. Der Computer hielt Einzug in die Mathematik. Dies führte zu einer dramatischen Weiterentwicklung der numerischen Mathematik . Mit Hilfe des Computers können nun komplexe Probleme, die per Hand nicht zu lösen waren, relativ schnell berechnet werden, und numerisches Experimentieren machte viele neue Phänomene erst zugänglich ( Experimentelle Mathematik ).

Einen Höhepunkt erreichten Abstraktion und Formalisierung im Schaffen des Autorenkollektivs Nicolas Bourbaki , zu der führende Mathematiker in Frankreich (und darüber hinaus) gehörten wie André Weil , Jean-Pierre Serre , Henri Cartan und Claude Chevalley und deren Treffen schon Ende der 1930er Jahre begannen. Sie übernahmen nach dem Niedergang der Hilbert-Schule und der Vertreibung vieler Mathematiker durch die Nationalsozialisten nach dem Krieg, wovon vor allem die USA profitierten, eine Führungsrolle in der strukturellen Auffassung der Mathematik, und zunächst in bewusster Anlehnung an die Göttinger algebraische Schule das stark an der Analysis orientierte Curriculum in Frankreich überwinden wollten, aber bald auch weit darüber hinaus wirkten (mit der Neuen Mathematik im Schul-Curriculum der 1960er und 1970er Jahre).

Bedeutend in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts war die grundlegende Umwälzung der algebraischen Geometrie vor allem durch Arbeiten Alexander Grothendiecks und seiner Schule sowie die breite Entwicklung der algebraischen Topologie, und – teilweise damit einhergehend – die Entwicklung der Kategorientheorie . Das war ein nochmaliger Steigerungsgrad der Abstrahierung nach der Entwicklung der abstrakten Algebra in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts insbesondere in der Schule von Emmy Noether und lieferte neue Ansätze und Denkweisen, die in weiten Teilen der Mathematik wirksam geworden sind. Die Kategorientheorie bot dabei eine Alternative zur Mengenlehre als Theorie der grundlegenden Strukturen.

Neben den Tendenzen zur Abstraktion gab es in der Mathematik aber immer wieder die Tendenz, konkrete Objekte detailliert zu erkunden. Besonders geeignet waren diese Untersuchungen auch, der Öffentlichkeit die Rolle der Mathematik näherzubringen (zum Beispiel Fraktale ab den 1980er Jahren und die Chaostheorie, die Katastrophentheorie der 1970er Jahre).

Wichtige neue Entwicklungen wie der Atiyah-Singer-Indexsatz oder der Beweis der Weil-Vermutungen spiegeln sich in der Verleihungen der Fields-Medaille und des Abelpreises . Viele teilweise jahrhundertealte Probleme wurden im 20. Jahrhundert gelöst wie das Vierfarbenproblem , die Kepler-Vermutung (beide mit Computerhilfe), der Klassifikationssatz der endlichen Gruppen , die Mordellvermutung ( Gerd Faltings ), die Poincaré-Vermutung (durch Grigori Perelman 2002) und 1995 schließlich der Satz von Fermat durch Andrew Wiles . Fermats Aussage, dass der Rand einer Buchseite zu schmal für einen Beweis sei, bestätigte sich: Wiles' Beweis ist über 100 Seiten lang, und er brauchte Hilfsmittel, die weit über den mathematischen Erkenntnisstand zu Fermats Zeiten hinausgingen. Einige Probleme wurden für prinzipiell unlösbar erkannt (wie die Kontinuumshypothese durch Paul Cohen ), viele neue Probleme kamen hinzu (wie die abc-Vermutung ) und die Riemann-Hypothese ist eines der wenigen Probleme der Hilbertliste, deren Beweis trotz großer Anstrengungen vieler Mathematiker weiterhin in weiter Ferne zu liegen scheint. Eine Liste zentraler ungelöster Probleme der Mathematik ist die Liste der Millennium-Probleme . Zum Ende des Jahrhunderts gab es wieder eine starke Wechselwirkung von Mathematik und Physik über Quantenfeldtheorien und Stringtheorie mit überraschenden und tiefliegenden Verbindungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik (unendlich dimensionale Liealgebren, Supersymmetrie, Dualitäten mit Anwendungen in der abzählenden algebraischen Geometrie, Knotentheorie ua). Vorher hatte die Elementarteilchenphysik von der Mathematik insbesondere durch deren Klassifikation von kontinuierlichen Symmetriegruppen, den Liegruppen, ihren Liealgebren und deren Darstellungen profitiert ( Elie Cartan , Wilhelm Killing im 19. Jahrhundert), und Liegruppen sind auch ein zentrales, vereinigendes Thema der Mathematik des 20. Jahrhunderts mit vielfältigsten Anwendungen innerhalb der Mathematik bis zur Zahlentheorie ( Langlands-Programm ).

Siehe auch

• Liste bedeutender Mathematiker
• Mengenunterscheidung bei Tieren
• Zentralarchiv deutscher Mathematiker-Nachlässe

Literatur

• Heinz-Wilhelm Alten : 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen . Springer, Berlin ua 2003, ISBN 3-540-43554-9 .  
• Franka Miriam Brückler: Geschichte der Mathematik kompakt . Springer Spektrum, 2017, ISBN 978-3-662-55351-0 .
• Joseph W. Dauben , Christoph J. Scriba (Hrsg.): Writing the History of Mathematics. Its Historical Development . Birkhäuser, Basel ua 2002, ISBN 3-7643-6167-0 .  
• Helmuth Gericke : Mathematik in Antike, Orient und Abendland . Marixverlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-937715-71-1 .  
• Thomas Heath : A History of Greek Mathematics . 2 Bände, Clarendon Press, Oxford 1921.
• Dietmar Herrmann: Die antike Mathematik, Geschichte der Mathematik in Alt-Griechenland und im Hellenismus, 2. Auflage. Springer Spektrum, Heidelberg 2020, ISBN 978-3-662-61394-8 .  
• Dietmar Herrmann: Mathematik im Mittelalter, Geschichte der Mathematik des Abendlandes mit ihren Quellen in China, Indien und im Islam . Springer Spektrum, Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50289-1 .  
• Dietmar Herrmann: Mathematik im Vorderen Orient, Geschichte der Mathematik in Altägypten und Mesopotamien . Springer Spektrum, Heidelberg 2019, ISBN 978-3-662-56793-7 .  
• Felix Klein : Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. 2 Bände, Springer 1926/27, Reprint 1979.
• Morris Kline : Mathematical Thought from Ancient to Modern Times . Band   1 . Oxford University Press , New York, Oxford 1972, ISBN 0-19-506135-7 .   (2 Bände)
• Uta Merzbach , Carl Benjamin Boyer : A History of Mathematics . John Wiley & Sons , 2011, ISBN 978-0-470-52548-7 .  
• Christoph J. Scriba, Peter Schreiber : 5000 Jahre Geometrie. Geschichte, Kulturen, Menschen . 2. Auflage. Springer, Berlin ua 2005, ISBN 3-540-22471-8 .  
• Hans Wußing ua: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. Von den Anfängen bis Leibniz und Newton . Springer, Berlin ua 2008, ISBN 978-3-540-77189-0 .   (2 Bände)
• Ivor Grattan-Guinness (Hrsg.): Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences . 2 Bände, Routledge 1994.
• Eleanor Robson , Jacqueline Stedall (Herausgeber): The Oxford handbook of the history of mathematics . Oxford University Press , Oxford 2009, ISBN 978-0-19-921312-2 .  
• Thomas Sonar : 3000 Jahre Analysis . Springer Verlag, 2011.
• John Stillwell : Mathematics and its History . Springer, 1989, 2. Auflage 2002.
• Dirk Struik : Abriß der Geschichte der Mathematik . 7. Auflage, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1980 (englische Ausgabe A concise history of mathematics . Dover 1987).
• Jean Dieudonné (Herausgeber und Mitautor): Geschichte der Mathematik 1700–1900 – ein Abriss . Vieweg 1985 ( online bei archive.org ).
• Jean-Paul Pier (Hrsg.): Development of Mathematics 1900–1950 . Birkhäuser 1995.
• Jean-Paul Pier (Hrsg.): Development of Mathematics 1950–2000 . Birkhäuser 2000.
• Bartel Leendert van der Waerden : Erwachende Wissenschaft. Band 1: Ägyptische, babylonische und griechische Mathematik . Birkhäuser 1966.

Biographien von Mathematikern finden sich in:

• Dictionary of Scientific Biography
• Siegfried Gottwald , Hans-Joachim Ilgauds , Karl-Heinz Schlote : Lexikon bedeutender Mathematiker . Bibliographisches Institut, Leipzig 1990.

Weblinks

• Sendereihe: Die Geschichte der Mathematik Vierteilige Sendereihe der BBC , The Story of Maths , vom WDR für Planet Schule auf Deutsch übersetzt, die Filme können online angesehen werden
• ERAM Literaturdatenbank 1868–1942, Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik
• MacTutor: Mathematik-Geschichts-Projekt der Universität St. Andrews mit umfassendem Archiv vorzüglicher Biografien (auf englisch)
• Zentralarchiv deutscher Mathematikernachlässe auf der Seite des Fachinformationsdienstes Mathematik
• History Topics: Index of Ancient Indian mathematics

Einzelnachweise

1. ↑ Howard Eves : An Introduction to the History of Mathematics . 6th Edition, 1990 S. 9.
2. ↑ Moscow Papyrus
3. ↑ Heinz-Wilhelm Alten et al.: 4000 Jahre Algebra . Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2003, ISBN 3-540-43554-9 , S. 49.
4. ↑ Ifrah Universalgeschichte der Zahlen . Zweitausendeins, Kapitel 29.
5. ↑ „Alle in der indischen Literaturgeschichte gegebenen Daten sind gleichsam wieder zum Umwerfen aufgesetzte Kegel“ aus: Alois Payer: Einführung in die Exegese von Sanskrittexten. Skript . Kap. 8: Die eigentliche Exegese. Teil II: Zu einzelnen Fragestellungen synchronen Verstehens ( online ).
6. ↑ Vgl. auch Maya Mathematics , MacTutor.
7. ↑ Siehe bei Thomas de Padova : Alles wird Zahl. Wie sich die Mathematik in der Renaissance neu erfand. Hanser, 2021, ISBN 978-3-446-26932-3 .
8. ↑ Vgl. Joseph Ehrenfried Hofmann : Michael Stifel (1487?–1567). Leben, Wirken und Bedeutung für die Mathematik seiner Zeit (= Sudhoffs Archiv . Beiheft 9). Franz Steiner Verlag, Stuttgart 1968, ISBN 3-515-00293-6 .
9. ↑ Calculus History, McTutor
10. ↑ Moritz Cantor: Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik. Band 3, 1901, S. 285–328 ( Digitale Ausgabe Univ. Heidelberg, 2014).
11. ↑ Thomas Sonar: Die Geschichte des Prioritätsstreits zwischen Leibniz und Newton . Springer Verlag, Berlin 2016.