Klassisk mekanikk

Den matematiske pendelen - en typisk anvendelse av klassisk mekanikk

Klassisk mekanikk eller newtonsk mekanikk er den fysiske grenen som beskriver bevegelsen av faste, flytende eller gassformede legemer under påvirkning av krefter . Dette inkluderer også treghetsbevegelse i fravær av kraft og statisk likevekt , dvs. å forbli i hvilestilling, selv om krefter er i gang. Typiske anvendelsesområder for klassisk mekanikk er himmelsk mekanikk , teknisk mekanikk , hydrodynamikk , aerodynamikk , statikk og biomekanikk .

Klassisk mekanikk er basert på grunnlaget for Isaac Newton på slutten av 1600 -tallet og var stort sett fullt utviklet mot slutten av 1800 -tallet. Hun tjente som et viktig forbilde i utviklingen av fysikk og de andre naturvitenskapene . Klassisk mekanikk muliggjør meget presise spådommer og beskrivelser av alle mekaniske prosesser innen vitenskap, teknologi og natur, forutsatt at kroppens hastighet sammenlignet med lysets hastighet og deres De Broglie -bølgelengde sammenlignet med dimensjonene til det aktuelle systemet kan neglisjeres.

De fysiske teoriene som relativitetsteorien og kvantemekanikken , som disse begrensningene ble overvunnet på 1900 -tallet, er på den ene siden basert på klassisk mekanikk, men er også hovedsakelig basert på konsepter som ikke lenger er kompatible med klassisk mekanikk.

historie

Klassisk mekanikk, utviklet på 1600 -tallet, ble den første naturvitenskapen i dagens forstand. Metoden for kunnskap om naturen grunnlagt av Galileo Galilei , der eksperimentelle observasjoner gjøres og resultatene analyseres ved hjelp av matematiske metoder, førte til et vitenskapelig gjennombrudd for første gang. Isaac Newtons bok Mathematical Principles of Natural Philosophy fra 1687 blir sett på som begynnelsen på klassisk mekanikk. I den blir kroppsbevegelser, spesielt akselererte bevegelser, grundig analysert ved hjelp av et spesielt skapt nytt kraftbegrep . Newton beviste at alle observasjoner og målinger av kroppsbevegelser kan forklares med et rammeverk med noen få grunnleggende forutsetninger. Han demonstrerte dette ved å bruke den matematiske beregningsteknikken, som også er ny, med matematisk strenghet for observasjonsresultatene til Galileo om fritt fall og Johannes Keplers på planetariske bevegelser, samt for mange egne observasjoner og målinger på bevegelige kropper.

Fram til midten av 1800-tallet Christiaan Huygens , Gottfried Wilhelm Leibniz , Johann I Bernoulli , Daniel Bernoulli , Leonhard Euler , Jean-Baptiste le Rond d'Alembert , Joseph-Louis de Lagrange , Pierre-Simon Laplace , Augustin Louis Cauchy , William Rowan Hamilton , (og andre) den nødvendige avklaringen av noen av de newtonske begrepene og innføringen av ytterligere termer (f.eks. Vinkelmoment , arbeid , energi , stresstensor ) og teknikker (f.eks. D'Alemberts treghetskraft , Lagrange -formalisme ). Dermed utvidet de anvendelsesområdet for newtonsk mekanikk betraktelig. Denne mekanikken om mekanikk var så vellykket i tolkningen av utallige prosesser at den ble gjort til grunn for et mekanistisk verdensbilde ^[1] , som imidlertid møtte alvorlig kritikk fra tradisjonell filosofi. ^[2]

Fra 1800 -tallet fant newtoniansk mekanikk gradvis anvendelse i konstruksjon og maskinteknikk, men sistnevnte økte bare fra begynnelsen av 1900 -tallet. Selv om den resulterende tekniske mekanikken helt er basert på Newtons maktbegrep, ble den kritisert i teoretisk mekanikk av Ernst Mach , Gustav Kirchhoff , Heinrich Hertz som ikke egentlig grunnleggende og gikk deretter tilbake i betydningen sammenlignet med begrepene momentum og energi .

Det ble oppdaget på begynnelsen av 1900 -tallet at klassisk mekanikk har gyldighet. Funn innen elektrodynamikk førte til problemer som Albert Einstein løste innenfor rammen av sin spesielle relativitetsteori og generelle relativitetsteori med en revisjon av de klassiske forutsetningene om rom, tid og masse. I henhold til dette forblir den newtonske mekanikken tilnærmet gyldig for bevegelse av kropper hvis hastigheter kan negligeres i forhold til lysets hastighet og hvis gravitasjonsenergi kan neglisjeres i forhold til deres hvileenergi . En annen gyldighetsgrense for klassisk mekanikk skyldes kunnskapen om atomfysikk , som - etter Niels Bohr og Arnold Sommerfelds første suksesser - bare kunne forklares i kvantemekanikken utviklet av Werner Heisenberg og Erwin Schrödinger . Fra kvantemekanikk følger det at klassisk mekanikk omtrent er gyldig for prosesser der De Broglie -bølgelengden til kroppen er ubetydelig liten sammenlignet med de relevante romlige avstandene.

Formuleringer

I klassisk mekanikk er det forskjellige prinsipper for å sette opp bevegelsesligninger som brukes til å beskrive bevegelser av kropper. Disse representerer hver en videreutvikling eller generalisering av Newtons andre lov. Bevegelsesligninger er differensialligninger av den andre orden, som kan løses etter akselerasjon og hvis løsning bestemmer plasseringen og hastigheten til en masse når som helst.

Newtons lover

Newtons lover er grunnlaget for klassisk mekanikk som alle andre modeller er basert på. Det sentrale konseptet med denne formuleringen er innføring av krefter som forårsaker akselerasjon ${\ddot {\vec {x}}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ vec {x}}}}$ ${\ ddot {{\ vec x}}}$ en masse $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ årsaken. Bevegelsesligningen for denne massen bestemmes av superposisjonen av kreftene ${\vec {F}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}}$ ${\ vec {F}} _ {i}$ som påvirker mengden:

m{\ddot {\vec {x}}}=\sum _{i=1}^{N}{{\vec {F}}_{i}}

{\ displaystyle m {\ ddot {\ vec {x}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {{\ vec {F}} _ {i}}}

m {\ ddot {{\ vec x}}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {{N}} {{\ vec F} _ {i}}

Lagrange formalisme

Lagrange -formalismen beskriver lovene i klassisk mekanikk gjennom Lagrange -funksjonen $L.$ ${\ displaystyle L}$ $L.$ , som for systemer med et generalisert potensial og holonomiske begrensninger som forskjellen fra kinetisk energi $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ og potensiell energi $V$ ${\ displaystyle V}$ $V$ gitt er:

L=T-V

{\ displaystyle L = TV}

L = T-V

Bevegelsesligningene oppnås ved å bruke Euler-Lagrange-ligningene , som er derivater med hensyn til tid $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , hastighetene ${\dot {q}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ dot q} _ {i}$ og de generaliserte koordinatene $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ henger sammen med hverandre:

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial {L}}{\partial q_{i}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ text {d}} {{\ text {d}} t}} {\ frac {\ partiell L} {\ delvis {\ punkt {q}} _ {i}}} = { \ frac {\ partiell {L}} {\ delvis q_ {i}}}}

{\ frac {{\ text {d}}} {{\ text {d}} t}} {\ frac {\ partiell L} {\ delvis {\ punkt {q}} _ {i}}} = {\ frac {\ partiell {L}} {\ delvis q_ {i}}}

Hamiltonsk mekanikk

Hamiltonian mekanikk er den mest generaliserte formuleringen av klassisk mekanikk og utgangspunktet for utviklingen av nyere teorier og modeller, for eksempel kvantemekanikk. Den sentrale ligningen for denne formuleringen er Hamilton -funksjonen $H$ ${\ displaystyle H}$ $H$ . Det er definert som følger:

H=\sum \limits _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L({\vec {q}},{\dot {\vec {q}}},t)

{\ displaystyle H = \ sum \ limit _ {i} {\ dot {q}} _ {i} p_ {i} -L ({\ vec {q}}, {\ dot {\ vec {q}}} , t)}

H = \ sum \ limit _ {i} {\ dot q} _ {i} p_ {i} -L ({\ vec q}, {\ dot {{\ vec q}}}, t)

Er det ${\dot {q}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ dot q} _ {i}$ de generaliserte hastighetene og $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $pi}$ de generaliserte impulsene . Hvis den potensielle energien er uavhengig av hastigheten, og hvis transformasjonsligningene som definerer de generaliserte koordinatene ikke er avhengig av tiden, er Hamilton -funksjonen i klassisk mekanikk summen av den kinetiske energien $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ og potensiell energi $V$ ${\ displaystyle V}$ $V$ gitt: ^[3]

H=T+V

{\ displaystyle H = T + V}

H = T + V

Bevegelsesligningene oppnås ved å bruke de kanoniske ligningene :

{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}

{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i} = {\ frac {\ partiell H} {\ delvis p_ {i}}}}

{\ punkt {q}} _ {i} = {\ frac {\ delvis H} {\ delvis p_ {i}}}

{\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}

{\ displaystyle {\ dot {p}} _ {i} = - {\ frac {\ partiell H} {\ delvis q_ {i}}}}

{\ punkt {p}} _ {i} = - {\ frac {\ delvis H} {\ delvis q_ {i}}}

Med Hamilton-Jacobi-formalismen er det en modifisert form for denne beskrivelsen som knytter Hamilton-funksjonen til handlingen .

Grenser

Mange hverdagsfenomener er beskrevet tilstrekkelig detaljert av klassisk mekanikk. Men det er fenomener som ikke lenger kan forklares eller forenes med klassisk mekanikk. I disse tilfellene erstattes klassisk mekanikk med mer presise teorier, for eksempel: B. gjennom den spesielle relativitetsteorien eller kvantemekanikken. Disse teoriene inneholder klassisk mekanikk som en begrensende sak. Velkjente, klassisk uforklarlige effekter er fotoeffekter, Compton spredning og hulrom radiatorer .

Forholdet til relativitetsteorien

I motsetning til relativitetsteorien er det i klassisk mekanikk ingen maksimal hastighet som signalene kan spre seg med. I et klassisk univers er det mulig å synkronisere alle klokker med et uendelig raskt signal. Dette betyr at en absolutt tid som er gyldig i alle treghetssystemer er tenkelig.

I relativitetsteorien er den største signalhastigheten lik lysets hastighet i et vakuum. Forutsatt at klokkene som kreves for å måle fysiske prosesser kan være perfekt synkronisert, kan omfanget av klassisk mekanikk sammenlignet med relativitetsteorien nå bestemmes. Antagelsen om evnen til å synkroniseres gjelder nøyaktig når hastigheten som skal måles $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ sammenlignet med (maksimal) signalhastighet $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ som klokkene synkroniseres med er liten, dvs. $v\ll c$ ${\ displaystyle v \ ll c}$ $v \ c$ .

Forholdet til kvantemekanikk

I motsetning til kvantemekanikk kan massepunkter med identiske observerbare (masse, plassering, momentum) skilles, mens kvantemekanikk antar ikke -skillbare enheter . Dette betyr at klassiske kropper må være makroskopiske i den forstand at de har individuelle egenskaper som gjør dem skillbare. Således, z. B. Ikke betrakter elementære partikler av en familie som klassiske massepunkter. Den klassiske partikkels kjennetegn stammer fra det faktum at når den er overlatt til seg selv, forblir den i sitt tidligere treghetssystem. Dette er ikke tilfelle for en partikkel beskrevet i kvantemekanikk, siden en partikkel som er overlatt til seg selv ikke nødvendigvis forblir i sitt treghetssystem. Dette faktum kan avledes i kvantemekanikk ved å løse Schrödinger opprinnelige verdiproblem for bølgefunksjonen til en partikkel, sannsynligheten for å være på et tidspunkt $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ ligger på nøyaktig ett sted (et såkalt $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ -Topp). Sannsynligheten for tilstedeværelse begynner å forsvinne med økende tid.

litteratur

Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden: Foundations of Mechanics . Addison-Wesley, ISBN 0-201-40840-6 .
Torsten Fließbach: Mekanikk . 5. utgave. Spectrum, 2007, ISBN 978-3-8274-1683-4 .
Herbert Goldstein , Charles. P. Poole, John Safko: Klassisk mekanikk . Wiley-VCH, ISBN 3-527-40589-5 .

weblenker

Commons : Klassisk mekanikk - samling av bilder, videoer og lydfiler

Wikibooks: Samling av formler for klassisk mekanikk - lærings- og undervisningsmateriell

Individuelle bevis

^ Friedrich Hund : Historie om de fysiske begrepene. Del I: Fremveksten av det mekaniske bildet av naturen . 2. utgave. BI University pocket books, Mannheim 1978. Forord.
↑ Erhard Scheibe : The Philosophy of Physicists (Revidert pocketutgave) . CH Beck, 2007, ISBN 3-406-54788-5 , s. 22. ff .
↑ Herbert Goldstein: Klassisk mekanikk. Frankfurt 1963, s. 244.

[1] Friedrich Hund : Historie om de fysiske begrepene. Del I: Fremveksten av det mekaniske bildet av naturen . 2. utgave. BI University pocket books, Mannheim 1978. Forord.

[2] Erhard Scheibe : The Philosophy of Physicists (Revidert pocketutgave) . CH Beck, 2007, ISBN 3-406-54788-5 , s. 22. ff .

[3] Herbert Goldstein: Klassisk mekanikk. Frankfurt 1963, s. 244.

[1]

[2]

[3]