Sexagesimalt system

Sexagesimalsystemet (også heksagesimalsystem eller sekstitalsystem ) er et stedsverdisystem basert på basis 60 ( latinsk sexagesimus 'den seksti' ).

Den brukes fremdeles i dag for å indikere vinkler og geografiske lengdegrader og breddegrader . En grad har 60 bue minutter og et minutt har 60 sekunder . Det har også overlevd innen tidtaking . En time har 60 minutter og et minutt har 60 sekunder . I slutten av middelalderen delte noen matematikere sekundene videre inn i tertiae for sine beregninger. Dette har imidlertid ikke fanget opp.

opprinnelse

Det første beviset på et skriftlig seksagesimalt beregningssystem, som fremdeles var et tilleggssystem , går tilbake til sumerernes tid rundt 3300 f.Kr. BC tilbake. I det videre løpet av den babylonske matematikken fra ca. Et system med sexagesimal sted brukes. Hovedkildene om matematikk stammer fra 1900 f.Kr. F.Kr. til 1600 f.Kr. F.Kr., men de eldste tabelltekstene er fra den nysumeriske perioden. Den post-alexandriske perioden viser økende gresk påvirkning under Seleukidene , som inngikk en synergi med den babylonske kunnskapen for senere å eksportere sumerernes, akkadiernes, assyrernes og babyloniernes erfaringer fullt ut til Hellas. Arabiske astronomer brukte skrivemåten til den berømte greske astronomen Ptolemaios i stjernekartene og tabellene, som var basert på seksagesimale brøk. Tidlige europeiske matematikere som Fibonacci brukte også slike brøk når de ikke kunne operere med hele tall.

Mange historikere ser et motiv for innføringen av et sexagesimalt system i astronomien , siden de babylonske årene omfattet tolv måneder på 30 dager, men det var også en tredje 13. sprangmåned omtrent hvert tredje år. ^[1] Ytterligere informasjon finnes i den tidlige tellingen av månemånedene, som dateres tilbake til 35 000 f.Kr. Kan bevises (kalenderpinne). I Tsjekkia ble eikerbeinet til en ung ulv funnet fra rundt 30 000 f.Kr. Discovered, som har en serie på 55 hakk totalt, er den 9., 30. og 31. hakk omtrent dobbelt så lang fra toppen som de andre hakkene. ^[2] Fordi gjennomsnittsperioden for månefasene er 29,53 dager, kan markeringene være relatert til månens faser .

Andre forskere ser grunnen til å velge tallet 60 som grunnlaget for datasystemet for enkelt å kunne uttrykke eller beregne så mange av delene som forekommer i praktisk telling og måling (handel) som mulig. ^[3] En indikasjon på dette er at 60 med 12 divisorer er et av de svært sammensatte tallene (nr. 9 i serie A002182 i OEIS ).

En- og tohånds telling med falanger og fingre

I det vanlige desimalsystemet (tiersystem) teller du med de ti fingrene (to ganger fem) på begge hender. I noen områder av verden var det imidlertid en telling ved hjelp av falangen , som førte til tallet tolv ( duodecimal ) med en hånd , men førte til tallet 60 med to hender. ^[4]

Teller med én hånd til 12

Telling gjøres med tommelen som peker og falangene i samme hånd som telleobjektet.

Enhånds telling begynner med å berøre spissen av det første objektet med tommelen, dvs. den øvre falangen, på lillefingeren på samme hånd.
For det andre objektet berøres den lille phalanxen på lillefingeren med tommelen; så du regner med tommelen med lem og finger.
Tre → nedre lenke til lillefingeren
Fire → øvre lenke på ringfingeren
Fem → midtre lenke til ringfingeren
Seks → nedre lenke til ringfingeren
Sju → øvre falanks på langfingeren
Åtte → langfalken på langfingeren
Ni → nedre lenke på langfingeren
Ti → øvre falanks på pekefingeren
Elleve → midtlenke på pekefingeren
Tolv → nedre lenke på pekefingeren

Med andre ord: fire fingre med 3 falanger hver tilsvarer 12.

Tohånds teller opptil 60

Etter at det første dusinet er talt med tommelen som en peker med de tre falangene til de resterende fire fingrene på samme hånd (4 × 3 = 12), er telleevnen til en hånd først oppbrukt.

Den andre hånden er knytt i en knyttneve. For å huske at et dusin er talt, strekker man nå en finger, f.eks. B. tommelen ut.
Nå fortsetter du å telle ved å starte på nytt med din første hånd. Klokken tolv er det andre dusinet fullt.
For å huske at to dusin er talt, strekker den ene seg nå den andre fingeren på den andre hånden, f.eks. B. etter tommelen ut pekefingeren.
Med de fem fingrene på den første hånden kan du telle fem ganger et dusin, så 5 × 12 = 60.
Nå kan du telle det neste dusinet igjen med første hånd, dvs. telle til 72 med to hender (12 på den første pluss 60 på den annen side).

Dette fingertellingssystemet eksisterer fremdeles i deler av Tyrkia , Irak , India og Indokina .

Du kan også telle opptil 12 × 12 = 144 (a large ) eller 156 (13 × 12) ved å telle med falangen med andre hånden.

Når du teller en stor mengde, kan du bruke et hjelpemiddel, for eksempel pinner, steiner, linjer eller de ti fingrene til en hjelper. Fem dusin om gangen, dvs. 60, er notert med ett av hjelpemidlene. Med de ti fingrene til en menneskelig hjelper kan du telle opptil 10 × 60 = 600, med de andre hjelpemidlene enda lenger.

Sumererne

Hos sumererne ^[5] ble 60 kalt gesch .

120: gesch-min (60 × 2)
180: gesch-esch (60 × 3)
240: gesch-limmu (60 × 4)
300: gesch-iá (60 × 5)
360: gesch-asch (60 × 6)
420: gesch-imin (60 × 7)
480: skudd (60 × 8)
540: gesch-ilummu (60 × 9)
600: gesch-u (60 × 10)
Nå regnet ikke sumererne med i trinn på 60 ( gesch- trinn), men i 600-trinn ( gesch-u- trinn), nemlig seks ganger 600, dvs. opptil 3600, som ble kalt schàr .
3600 ble deretter økt igjen ti ganger til schàr-u (3600 × 10) 36 000.
De 36 000 ble talt seks ganger til 216 000 schàr-gal , bokstavelig talt den store 3600 ( dvs. 60 × 60 × 60).
De 216 000 ble talt ti ganger til 2 160 000 schàr-gal-u (= (60 × 60 × 60) × 10)
Schàr-gal-u ble opprinnelig multiplisert fem ganger. Den sjette multipelen 12 960 000, dvs. 60 × 60 × 60 × 60, fikk sitt eget navn igjen, nemlig schàr-gal-shu-nu-tag (den store schàr overordnede enheten).

Tallene 10 til 60 har en desimal (30 = uschu = esch-u = 3 × 10), og noen ganger til og med en vigesimal struktur (40 = nischmin = nisch-min = 2 × 20). ^[6]

Det sexagesimale systemet i babylonsk bruk

Sumererne brukte før kileskiltene for tallene 1 til 60 hver med halv størrelse ellipser og tallene 10 og 3600 = 60² hver i forskjellige sirkler , med sylindriske blyanter ble presset inn i leirtavler. Fra disse symbolene ble symbolene for 600 = 10 · 60 og 36000 = 10 · 60² kombinert tilsvarende. Det var også et annet system med desimalnivåer på 1, 10 og 100, samt et tredje system på akkadisk tid. Fram til slutten av den sumeriske perioden endret de enkelte tegnene form, men beholdt sin individuelle karakter og dannet et tilleggssystem som ligner de romerske tallene . Bare med det senere babylonske sexagesimale systemet var det et reelt system av stedsverdier med bare to individuelle tegn: for 1 og for 10. Med disse kunne tallene 1 til 59 dannes additivt, som igjen fikk sin faktiske verdi som sifrene i desimalsystemet gjennom deres posisjon. ^[7]

Tallene

Årsakene til å bruke det sexagesimale systemet ligger i den effektive beregningsmetoden og det svært begrensede antallet individuelle talltegn som tallene ble dannet fra. Noen eksempler på det babylonske kileskriftet:

Sexagesimalt system i form av kileskrift
	1	2	3	4.	5	6.	7.	8.	9

10	11	12.	1. 3	14.	15.	16	17.	18.	19.

20.	30.	40	50

Ytterligere numeriske eksempler:

= 62,

= 122 og

= 129.

Tallene består bare av to individuelle tall. I denne forbindelse var antallet faktiske tall ikke begrenset, selv om det bare ble referert til to individuelle tall, hvis størrelser ble endret etter behov. Likevel er det alltid problemer med lesingen fordi tallene i et tall, som for det meste skyldes konteksten, ikke var entydige: z. B. kunne Gjennomsnitt 30, 30x60 eller 30/60, etc. På samme måte var det ingen null, slik at det av og til manglet et siffer - som imidlertid var svært sjeldent - og forskjellige tall ble skrevet på samme måte. Senere ble det noen ganger igjen et gap på et manglende punkt, fra 600 -tallet f.Kr. Et mellomrom med verdien null dukket opp som et ekstra talltegn. Imidlertid ble dette mellomrommet ikke brukt direkte i beregningen, og det fremsto ikke som et eget tallsymbol, så det hadde ikke betydningen av tallet null . Indianerne ga først sin plass som et symbol for tallet null.

Seksagesimale tall er representert med arabiske tall ved å skrive et komma mellom to individuelle sexagesimale steder. Hele de sexagesimale stedene er derimot atskilt fra de ødelagte med et semikolon, og hvis det mangler steder eller mellomrom, skrives det en “0” (dette er da en tolkning): B. 30,0 = 30 * 60 og 0; 30 = 30/60.

Datateknologien

Legg til og trekk fra

Som med vårt desimalsystem gjorde stedverdisystemet det forrige sifferet mulig å utvide eller redusere med 1. Formen på kilene gjorde det sexagesimale systemet lettere fordi bare kilene måtte settes sammen. De tekniske begrepene som ble brukt for addisjon og subtraksjon var "multiplisere" og "flytte bort" (de matematiske symbolene + og - ble først introdusert av Johannes Widmann på 1400 -tallet e.Kr.). En negativ forskjell mellom to tall uttrykkes med "Subtrahend goes beyond". Addisjon og subtraksjon fungerer akkurat som det gjør i dag i desimalsystemet.

Eksempel på et tillegg:

{\begin{array}{rr}59&\\+\ 11&\\+\ 20&\\\hline 1{,}30&(=90),\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {rr} 59 & \\ + \ 11 & \\ + \ 20 & \\\ hline 1 {,} 30 & (= 90), \ end {array}}}

{\ begin {array} {rr} 59 & \\ + \ 11 & \\ + \ 20 & \\\ hline 1 {,} 30 & (= 90), \ end {array}}

i notasjonen av det sexagesimale systemet. 1 foran desimaltegnet indikerer verdien 1 · 60, som tallet 30 etter desimalpunktet legges til.

Eksempel på en subtraksjon:

{\begin{array}{rl}4{,}40&(=280)\\-\ 1{,}40&(=100)\\-\ 1{,}50&(=110)\\\hline 1{,}10&(=70),\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {rl} 4 {,} 40 & (= 280) \\ - \ 1 {,} 40 & (= 100) \\ - \ 1 {,} 50 & (= 110) \\\ hline 1 {,} 10 & (= 70), \ end {array}}}

{\ begin {array} {rl} 4 {,} 40 & (= 280) \\ - \ 1 {,} 40 & (= 100) \\ - \ 1 {,} 50 & (= 110) \\\ hline 1 {,} 10 & (= 70), \ end {array}}

i notasjonen av det sexagesimale systemet. 4 og 1 foran desimaltegnet angir verdiene 4 · 60 og 1 · 60, som tallene 40, 50 og 10 legges til etter desimaltegnet.

Multiplisere

Den samme prosedyren som i desimalsystemet ble brukt for multiplikasjon. Men mens i titallssystemet må man ha gangetabellen fra 1 · 1-9 · 9 i tankene, bør babylonerne har vært i stand til å huske gangetabellen fra 1 · 1-59 · 59. For å gjøre ting enklere ble det brukt multiplikasjonstabeller hvorfra de nødvendige produktene kunne leses: Hver linje i en multiplikasjonstabell begynte med samme hode nummer, f.eks. B. 2, etterfulgt av uttrykket “tider” og multiplikatoren, f.eks. B. 1, og til slutt resultatet, f.eks. B. 2. Multiplikatorene gikk fra 1 til 20 og så kom 30, 40 og 50.

Fordi i seksagesimalsystemet 60 ble gradert i trinn på 10 (se ovenfor under tall) og generelt var desimalnumre i dagliglivet mye i bruk. B. 1,40 = 100 og 16,40 = 1000 multiplikasjonstabeller opprettet. En annen grunn er samspillet med verdiene fra gjensidige tabeller (se nedenfor under divisjon). Hvis andre verdier var påkrevd, ble tallene satt sammen.

Hodetallene:

1.15	1,20	1.30	1,40	2	2.13.20	2.15	2,24	2.30	3	3,20	3,45	4.	4,30	5	6.	6,40	7.	7.12	7.30	8.
8.20	9	10	12.	12.30	15.	16	16.40	18.	20.	22.30	24	25.	30.	36	40	44,26,40	45	48	50

Eksempel på en multiplikasjon:

29\cdot 1{,}12=29\cdot 1{,}0+20\cdot 0{,}12+9\cdot 0{,}12=29{,}00+2{,}40+1{,}08=32{,}48

{\ displaystyle 29 \ cdot 1 {,} 12 = 29 \ cdot 1 {,} 0 + 20 \ cdot 0 {,} 12 + 9 \ cdot 0 {,} 12 = 29 {,} 00 + 2 {,} 40 +1 {,} 08 = 32 {,} 48}

{\ displaystyle 29 \ cdot 1 {,} 12 = 29 \ cdot 1 {,} 0 + 20 \ cdot 0 {,} 12 + 9 \ cdot 0 {,} 12 = 29 {,} 00 + 2 {,} 40 +1 {,} 08 = 32 {,} 48}

.

Å dele

Babylonerne delte et tall $en$ ${\ displaystyle a}$ $en$ med et tall $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ av $en$ ${\ displaystyle a}$ $en$ med det gjensidige av $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ multiplisert:

a:n=a\cdot {\frac {1}{n}}

{\ displaystyle a: n = a \ cdot {\ frac {1} {n}}}

a: n = a \ cdot {\ frac {1} {n}}

.

Det gjensidige av et tall $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ du kan i en multiplikasjonstabell med hode nummeret $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ finn om $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ delt en makt på 60. Fordi sto der som et resultat , dvs. en effekt på 60, så var den tilhørende multiplikatoren $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ den gjensidige verdien som søkes ( $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ og ${\frac {m}{60^{l}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {m} {60 ^ {l}}}}$ ${\ frac {m} {60 ^ {l}}}$ har samme representasjon i det babylonske sexagesimale systemet):

n\cdot m=60^{l}

{\ displaystyle n \ cdot m = 60 ^ {l}}

n \ cdot m = 60 ^ {l}

, så

{\frac {m}{60^{l}}}={\frac {1}{n}}

{\ displaystyle {\ frac {m} {60 ^ {l}}} = {\ frac {1} {n}}}

{\ frac {m} {60 ^ {l}}} = {\ frac {1} {n}}

.

De gjensidige verdiene (gjensidige) for naturlige tall ble satt sammen igjen i gjensidige tabeller for å gjøre ting enklere. En skrev i slike tabeller for verdier som ikke hadde noen gjensidig i en multiplikasjonstabell, "er ikke" i stedet for gjensidig. For disse uregelmessige tallene, som har primfaktorer ≥ 7, ble omtrentlige verdier brukt som for irrasjonelle tall .

Den gjensidige tabellen som hovedsakelig brukes inneholder følgende tallpar:

n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n
2	30.	3.	20.	4.	15.	5	12.	6.	10	8.	7.30	9	6,40	10	6.	12.	5	15.	4.
16	3,45	18.	3,20	20.	3	24	2.30	25.	2,24	27	2.13.20	30.	2	32	1.52.30	36	1,40	40	1.30
45	1,20	48	1.15	50	1.12	54	1,60	60	1	1.4	56.15	1.12	50	1.15	48	1,20	45	1.21	44,26,40

Mye kan blant annet leses fra et gjensidig bord ${\frac {1}{3}}=0;20$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} = 0; 20}$ ${\ frac {1} {3}} = 0; 20$ eller ${\frac {1}{3{,}0}}={\frac {1}{180}}=0;0{,}20$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3 {,} 0}} = {\ frac {1} {180}} = 0; 0 {,} 20}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3 {,} 0}} = {\ frac {1} {180}} = 0; 0 {,} 20}$ eller $1:0;3=60:3=20$ ${\ displaystyle 1: 0; 3 = 60: 3 = 20}$ $1: 0; 3 = 60: 3 = 20$ , men også omvendt ${\frac {1}{20}}=0;3$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {20}} = 0; 3}$ ${\ frac {1} {20}} = 0; 3$ etc.

Eksempler på divisjoner:

4:3=4\cdot {\frac {1}{3}}=4\cdot 0;20=1;20

{\ displaystyle 4: 3 = 4 \ cdot {\ frac {1} {3}} = 4 \ cdot 0; 20 = 1; 20}

4: 3 = 4 \ cdot {\ frac {1} {3}} = 4 \ cdot 0; 20 = 1; 20

.

0;12:25=0;12\cdot {\frac {1}{25}}=0;12\cdot 0;2,24=0;0,28,48

{\ displaystyle 0; 12:25 = 0; 12 \ cdot {\ frac {1} {25}} = 0; 12 \ cdot 0; 2.24 = 0; 0.28.48}

0; 12: 25 = 0; 12 \ ganger {\ frac {1} {25}} = 0; 12 \ ganger 0; 2,24 = 0; 0,28,48

.

Rotberegning

Den gamle greske matematikeren og ingeniøren Heron of Alexandria brukte metoden som allerede var kjent i det gamle babylonske riket i hans Metrica for å beregne røttene ^[8]

{\sqrt {a^{2}\pm b}}\approx a\pm {\frac {b}{2a}}

{\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} \ pm b}} \ approx a \ pm {\ frac {b} {2a}}}

{\ sqrt {a ^ {2} \ pm b}} \ ca a \ pm {\ frac {b} {2a}}

.

$en$ ${\ displaystyle a}$ $en$ ble tatt fra et torgbord. For den (irrasjonelle) kvadratroten av 2 får vi:

{\sqrt {2}}={\sqrt {1;20^{2}+0;13,20}}\approx 1;20+0;5=1;25

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ sqrt {1; 20 ^ {2} +0; 13.20}} \ ca 1; 20 + 0; 5 = 1; 25}

{\ sqrt {2}} = {\ sqrt {1; 20 ^ {{2}} + 0; 13.20}} \ ca 1; 20 + 0; 5 = 1; 25

,

dvs

{\sqrt {2}}={\sqrt {\left({\frac {4}{3}}\right)^{2}+{\frac {2}{9}}}}\approx {\frac {4}{3}}+{\frac {1}{12}}={\frac {17}{12}}\approx 1{,}41666667

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ sqrt {\ left ({\ frac {4} {3}} \ right) ^ {2} + {\ frac {2} {9}}}} \ approx {\ frac {4} {3}} + {\ frac {1} {12}} = {\ frac {17} {12}} \ ca 1 {,} 41666667}

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ sqrt {\ left ({\ frac {4} {3}} \ right) ^ {2} + {\ frac {2} {9}}}} \ approx {\ frac {4} {3}} + {\ frac {1} {12}} = {\ frac {17} {12}} \ ca 1 {,} 41666667}

.

På en babylonsk leirtavle (Yale Babylonian Collection 7289) er det også en bedre tilnærming på diagonalen til en firkant:

{\sqrt {2}}\approx 1;24,51,10\left(={\frac {305470}{216000}}\approx 1{,}41421296\right)

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ ca 1; 24,51,10 \ venstre (= {\ frac {305470} {216000}} \ ca 1 {,} 41421296 \ høyre)}

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ ca 1; 24,51,10 \ venstre (= {\ frac {305470} {216000}} \ ca 1 {,} 41421296 \ høyre)}

.

På grunn av

1;25>{\sqrt {2}}={\frac {2}{\sqrt {2}}}>{\frac {2}{1;25}}\approx 1;24,42,21(\approx 1{,}41176389)

{\ displaystyle 1; 25> {\ sqrt {2}} = {\ frac {2} {\ sqrt {2}}}> {\ frac {2} {1; 25}} \ approx 1; 24.42, 21 ( \ ca 1 {,} 41176389)}

1; 25> {\ sqrt {2}} = {\ frac {2} {{\ sqrt {2}}}}> {\ frac {2} {1; 25}} \ ca 1; 24,42,21 (\ ca 1 {,} 41176389)

,

ligger mellom 1; 25 og 1; 24,42,21 deres aritmetiske gjennomsnitt

(1;25+1;24,42,21)\cdot 0;30\approx 1;24,51,10

{\ displaystyle (1; 25 + 1; 24,42,21) \ cdot 0; 30 \ ca 1; 24,51,10}

(1; 25 + 1; 24,42,21) \ cdot 0; 30 \ ca 1; 24,51,10

nærmere

{\sqrt {2}}\approx 1{,}41421356

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ ca 1 {,} 41421356}

{\ sqrt {2}} \ ca 1 {,} 41421356

.

Nå er sidelengden på torget på leirtavlen gitt som 30 og lengden på diagonalene som 42,25,35, noe som kan tolkes som følgende beregning:

0;30\cdot 1;24,51,10=0;42,25,35

{\ displaystyle 0; 30 \ cdot 1; 24,51,10 = 0; 42,25,35}

0; 30 \ cdot 1; 24.51.10 = 0; 42.25.35

.

Eksemplet viser at babylonerne hadde algebraisk og geometrisk kunnskap (her kunne " Pythagoras teorem " ha blitt brukt).

tilleggsinformasjon

En direkte slektning av det sexagesimale systemet er det duodesimale systemet med base 12.

litteratur

Robert Kaplan: The History of Zero. Innbundet: Campus Verlag, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-593-36427-1 . Paperback-utgave: Piper Verlag, 2003, ISBN 3-492-23918-8 .
Richard Mankiewicz: Time Travel of Mathematics - From the Origin of Numbers to Chaos Theory. VGS Verlagsgesellschaft, Köln 2000, ISBN 3-8025-1440-8 .
Kurt Vogel : Pre-Greek Mathematics. Del II: Babyloniernes matematikk. Schroedel, Hannover og Schöningh, Paderborn 1959.

weblenker

Wiktionary: Sexagesimal system - forklaringer på betydninger, ordopprinnelse, synonymer, oversettelser

Christoph Grandt: The Babylonian Sexagesimal System . (PDF; 215 kB)

Individuelle bevis

↑ JP McEvoy: Solar Eclipse. Berlin-Verlag, 2001, s. 43. K. Vogel: Del II , s. 22 f.
↑ K. Vogel: Pre-Greek Mathematics. Del I: Forhistorie og Egypt. Schroedel, Hannover og Schöningh, Paderborn 1958. s. 16, fig. 11.
^ K. Vogel: Del II , s. 23.
^ Georges Ifrah: Universell tallhistorie . Lisensiert utgave to tusen og en utgave. Campus, Frankfurt am Main 1993, ISBN 3-86150-704-8 , Das Sexagesimalsystem, s. 69–75 og 90–92 (fransk: Histoire universelle des chiffres . Oversatt av Alexander von Platen).
↑ Ifrah: Universell tallhistorie . 2. utgave. Campus, Frankfurt am Main og New York 1997, ISBN 3-593-34192-1 , Das Sexagesimalsystem, s. 69 ff . (Første utgave: 1991).
↑ Thureau-Thangin kalte den en "vigesimal øy i det sumeriske tallsystemet" i 1932. Ifrah: Universell tallhistorie . 2. utgave. S. 71 .
^ K. Vogel: Del II , s. 18 f.
^ K. Vogel, del II , s. 34 f.

[1] JP McEvoy: Solar Eclipse. Berlin-Verlag, 2001, s. 43. K. Vogel: Del II , s. 22 f.

[2] K. Vogel: Pre-Greek Mathematics. Del I: Forhistorie og Egypt. Schroedel, Hannover og Schöningh, Paderborn 1958. s. 16, fig. 11.

[3] K. Vogel: Del II , s. 23.

[Ifrah_2-4] Georges Ifrah: Universell tallhistorie . Lisensiert utgave to tusen og en utgave. Campus, Frankfurt am Main 1993, ISBN 3-86150-704-8 , Das Sexagesimalsystem, s. 69–75 og 90–92 (fransk: Histoire universelle des chiffres . Oversatt av Alexander von Platen).

[Ifrah_69-5] Ifrah: Universell tallhistorie . 2. utgave. Campus, Frankfurt am Main og New York 1997, ISBN 3-593-34192-1 , Das Sexagesimalsystem, s. 69 ff . (Første utgave: 1991).

[Ifrah_71-6] Thureau-Thangin kalte den en "vigesimal øy i det sumeriske tallsystemet" i 1932. Ifrah: Universell tallhistorie . 2. utgave. S. 71 .

[7] K. Vogel: Del II , s. 18 f.

[8] K. Vogel, del II , s. 34 f.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]