Område

fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigasjon Hopp til søk
Fysisk størrelse
Etternavn Område
flate
Tverrsnittsareal
Formelsymbol (område)
Avledet fra lengde
Størrelse og
System av enheter
enhet dimensjon
SI m 2 L 2
cgs cm 2 L 2
Planck Planck overflate ħ · G · c −3

Området er et mål på størrelsen på et område . En overflate forstås å bety todimensjonale strukturer, dvs. de der man kan bevege seg i to uavhengige retninger. Dette inkluderer de vanlige figurene i flat geometri som rektangler , polygoner , sirkler , men også grenseoverflater til tredimensjonale legemer som kuboider , kuler , sylindere , etc. Disse overflatene er tilstrekkelige for mange bruksområder; mer komplekse overflater kan ofte sammensettes av dem eller tilnærmet av dem .

Overflaten spiller en viktig rolle i matematikk, i definisjonen av mange fysiske størrelser, men også i hverdagen. For eksempel er trykk definert som kraften per område eller det magnetiske øyeblikket i en ledersløyfe som strømmen ganger området rundt det. Eiendoms- og leilighetsstørrelser kan sammenlignes ved å spesifisere området. Materialforbruk, for eksempel frø til et felt eller maling for å male et område, kan estimeres ved hjelp av området.

Området normaliseres i den forstand at kvadratet , det vil si kvadratet med sidelengde 1, har området 1; Uttrykt i måleenheter har et kvadrat med en sidelengde på 1 m et areal på 1 m 2 . For å gjøre overflater sammenlignbare med overflatearealet, må man kreve at kongruente overflater har samme overflateareal og at overflaten til kombinerte overflater er summen av innholdet i delområdene.

Avmålingen av overflateområder skjer ikke akkurat i regelen. I stedet måles visse lengder, hvorfra arealet deretter beregnes. For å måle arealet til et rektangel eller en sfærisk overflate måler man vanligvis lengden på rektangelets sider eller sfærens diameter og oppnår ønsket område ved hjelp av geometriske formler som angitt nedenfor.

Areal med noen geometriske figurer

Tre kjente figurer fra plangeometri på en rutete bakgrunn

Tabellen nedenfor viser noen kjente figurer fra plan geometri sammen med formler for beregning av arealet.

Figur / objekt Betegnelser Område
torget Sidelengde
rektangel Sidelengder
triangel
(se også: trekantet område )
Baksiden , Høyde , vinkelrett på
Trapes sidene parallelle med hverandre , Høyde , vinkelrett på og
Rombe Diagonaler og
parallellogram Sidelengde , Høyde , vinkelrett på
sirkel radius , Diameter , Sirkelnummer
ellipse Store og små halvakser eller. , Sirkelnummer
vanlig sekskant Sidelengde

For å bestemme arealet til en polygon kan du triangulere det, det vil si bryte det ned i trekanter ved å tegne diagonaler, deretter bestemme trekantenes område og til slutt legge til disse delområdene. Er koordinatene , , Hvis hjørnepunktene til polygonen er kjent i et kartesisk koordinatsystem , kan området beregnes ved hjelp av den gaussiske trapezformelen :

Følgende gjelder for indeksene: With er og med er betydde. Summen er positiv hvis hjørnepunktene krysses i henhold til rotasjonsretningen til koordinatsystemet . Beløpet må kanskje velges i tilfelle negative resultater. Picks teorem kan brukes spesielt for polygonale overflater med rutenett som hjørner. Andre områder kan vanligvis lett tilnærmes ved hjelp av polygoner, slik at en omtrentlig verdi lett kan oppnås.

Beregning av noen overflater

Tetraeder
Rett kjegle med utviklet sideflate

Her er noen typiske formler for beregning av overflater:

Figur / objekt Betegnelser flate
terning Sidelengde
Kuboid Sidelengder
Tetraeder Sidelengde
kule
(se også: sfærisk overflate )
radius , Diameter
sylinder Baseradius , Høyde
Kjegle Baseradius , Høyde
Torus Ringradius , Tverrsnittsradius

En typisk fremgangsmåte for å bestemme slike overflater er den såkalte "rullingen" eller "avviklingen" i planet, det vil si at man prøver å kartlegge overflaten i planet på en slik måte at overflatearealet beholdes, og deretter bestemmer det området til de resulterende flyene Figur. Dette fungerer imidlertid ikke med alle overflater, som eksempelet på sfæren viser. For å bestemme slike overflater kan analysemetoder som brukes i eksempelet på ballen handle om bruk av rotasjonsflater . Ofte fører Guldins første regel også til rask suksess, for eksempel med torus.

Integrert beregning

Arealet under kurven fra a til b tilnærmes med rektangler

Den integrerte beregningen ble blant annet utviklet for å bestemme områder under kurver, dvs. under funksjonsgrafer . Tanken er å kurve området mellom og - å tilnærme aksen med en serie smale rektangler og deretter la bredden på disse rektanglene gå mot 0 i en grenseprosess. Konvergensen av denne grensen avhenger av kurven som brukes. Hvis man ser på et begrenset område, for eksempel kurven over et begrenset intervall Som på den tilstøtende tegningen viser analysesetninger at kurvens kontinuitet er tilstrekkelig for å sikre konvergens av grenseprosessen. Fenomenet oppstår at områder under -Akser blir negative, noe som kan være uønsket når man bestemmer områder. Hvis du vil unngå dette, må du gå over til mengden av funksjonen.

Gaussisk klokkekurve

Man vil også ha intervallgrensene og tillate, bestemmer man først områdene for begrensede grenser og som bare beskrevet og deretter forlater i en ytterligere grenseprosess , eller strebe etter begge deler. Her kan det skje at denne grenseprosessen ikke konvergerer, for eksempel når det gjelder oscillerende funksjoner som sinusfunksjonen . Hvis du begrenser deg til funksjoner som har funksjonsgrafer i det øvre halvplanet, kan disse svingningseffektene ikke lenger forekomme, men det skjer at området mellom kurve og -Aksen blir uendelig. Siden det totale arealet har en uendelig grad, er dette til og med et sannsynlig og til slutt også forventet resultat. Men hvis kurven endres tilstrekkelig raskt for poeng langt fra 0 -Aksis nærmer seg, fenomenet kan oppstå at en uendelig forlenget overflate også har et begrenset område. Et velkjent eksempel som er viktig for sannsynlighetsteorien er området mellom den gaussiske klokkekurven

og -Akser. Selv om området av før er nok, er arealet lik 1.

Når man prøver å beregne ytterligere områder, for eksempel også under diskontinuerlige kurver, kommer man til slutt opp med spørsmålet om hvilke mengder i flyet som i det hele tatt skal tildeles et meningsfylt område. Dette spørsmålet viser seg vanskelig, som skissert i artikkelen om dimensjonsproblemet . Det viser seg at det intuitive områdekonseptet som brukes her, ikke meningsfullt kan utvides til alle delmengder av flyet.

Differensial geometri

I differensialgeometri brukes arealet til en flat eller buet overflate med koordinatene beregnet som et områdeintegral :

Arealelementet tilsvarer intervallbredden i endimensjonal integralregning . Det gir området av parallellogrammet som strekkes av tangentene til koordinatlinjene med sidelengdene og på. Overflateelementet avhenger av koordinatsystemet og den gaussiske krumningen av overflaten.

I kartesiske koordinater er overflateelementet . På den sfæriske overflaten med radius og lengden samt bredden gjelder som koordinatparametere . For overflaten av en kule ( ) man får området:

For å beregne arealelementet er det ikke absolutt nødvendig å vite posisjonen til et romlig område i rommet. Overflateelementet kan bare avledes av slike dimensjoner som kan måles inne i overflaten, og teller dermed med overflatens indre geometri . Dette er også grunnen til at overflaten til en (utviklingsbar) overflate ikke endres når den utvikles og derfor kan bestemmes ved å utvikle seg til et plan.

Overflater i fysikk

Naturligvis fremstår overflater også som en mengde som skal måles i fysikk. Områder måles vanligvis indirekte ved hjelp av formlene ovenfor. Typiske størrelser som overflater forekommer på er:

Område som vektor

Ofte er overflaten også tildelt en retning som er vinkelrett på overflaten, noe som gjør overflaten til en vektor og gir den en orientering på grunn av de to mulige valgene av den vinkelrette retningen. Lengden på vektoren er et mål på området. Med en etter vektorer og begrenset parallellogram er dette vektorproduktet

.

Hvis det er overflater, brukes det normale vektorfeltet vanligvis for å kunne tildele en retning til dem lokalt på hvert punkt. Dette fører til flussmengder som er definert som skalarproduktet av vektorfeltet og området (som en vektor). Slik beregnes strømmen fra nåværende tetthet i følge

,

hvor i integralen skalarproduktet

er formet. For evaluering av slike integraler er formler for beregning av overflater nyttige.

I fysikk er det også arealstørrelser som faktisk bestemmes eksperimentelt, for eksempel spredning av tverrsnitt . Antagelsen her er at en partikkelstrøm treffer et fast målobjekt, det såkalte målet, og partiklene i partikkelstrømmen treffer partiklene i målet med en viss sannsynlighet. Den makroskopisk målte spredningsatferden tillater deretter å trekke konklusjoner om tverrsnittsområdene som målpartiklene holder mot strømningspartiklene. Størrelsen som er bestemt på denne måten har dimensjonen til et område. Siden spredningsatferden ikke bare avhenger av geometriske parametere, men også av andre interaksjoner mellom spredningspartnerne, kan det målte området ikke alltid sidestilles direkte med det geometriske tverrsnittet av spredningspartnerne. Man snakker da mer generelt om tverrsnittet , som også har dimensjonen til et område.

Arealberegning i oppmåling

Som regel kan ikke landområdet, deler av land, land eller andre områder bestemmes ved hjelp av formlene for enkle geometriske figurer. Slike områder kan beregnes grafisk, semi-grafisk, fra feltdimensjoner eller fra koordinater. [1]

En kartlegging av området må være tilgjengelig for den grafiske prosessen. Områder, hvis grenser dannes av en polygon, kan brytes ned i trekanter eller trapeser, grunnlinjene og høyder som måles. Arealet av delområdene og til slutt arealet av det totale arealet blir deretter beregnet ut fra disse målingene. Den semi-grafiske arealberegningen brukes når området kan brytes ned i smale trekanter, hvis korte underside er nøyaktig målt i feltet. Siden den relative feilen i området hovedsakelig bestemmes av den relative feilen på den korte basesiden, øker måling av undersiden i feltet i stedet for på kartet nøyaktigheten til området sammenlignet med den rent grafiske metoden.

Uregelmessige overflater kan registreres ved hjelp av et firkantet glasspanel. Dette har et rutenett med firkanter på undersiden, hvis sidelengde er kjent (f.eks. 1 millimeter). Brettet plasseres på det kartlagte området, og området bestemmes ved å telle rutene som ligger innenfor området.

En planimeterharpe kan brukes til langstrakte overflater. Dette består av et ark med parallelle linjer hvis ensartede avstand er kjent. Planimeterharpen er plassert på overflaten på en slik måte at linjene er omtrent vinkelrett på overflatets lengderetning. Dette deler området i trapes, hvis senterlinjer legges til med et par skillevegger. Arealet kan beregnes ut fra summen av lengdene på senterlinjene og linjeavstanden.

Polar planimeter, til høyre kjørepenn med forstørrelsesglass, til venstre rull med teller, på toppen av stangen festet under målingen

Planimeteret , et mekanisk integreringsinstrument, er spesielt egnet for å bestemme overflatearealet til områder med en krøllete kant. Grensen må krysses med kjørepennen på planimeteret. Når du kjører rundt i området, roterer en rulle, og valsens rotasjon og størrelsen på området kan leses på en mekanisk eller elektronisk teller. Nøyaktigheten avhenger av hvor nøyaktig operatøren beveger seg i kanten av området med kjørepennen. Jo mindre omkrets i forhold til området, desto mer presist blir resultatet.

Arealberegningen fra feltdimensjoner kan brukes hvis området kan brytes ned i trekanter og trapeser og avstandene som kreves for arealberegningen måles i feltet. Hvis hjørnepunktene på overflaten har blitt vinklet på en mållinje ved hjelp av den ortogonale metoden, kan overflaten også beregnes ved hjelp av den gaussiske trapezformelen .

I dag er områder ofte beregnet ut fra koordinater. Dette kan for eksempel være koordinatene til grensepunkter i eiendomsmatrikelen eller hjørnepunkter i et område i et geografisk informasjonssystem . Ofte er hjørnepunktene forbundet med rette linjer, noen ganger også med buer. Derfor kan området beregnes ved hjelp av den gaussiske trapezformelen. Når det gjelder sirkelbuer, må de sirkulære segmentene mellom polygonsiden og sirkelbuen tas i betraktning. Hvis innholdet i et mer uregelmessig område skal bestemmes i et geografisk informasjonssystem, kan området tilnærmes av en polygon med korte sidelengder.

Se også

Individuelle bevis

  1. Heribert Kahmen: Kartlegging I. Walter de Gruyter, Berlin 1988.

weblenker

Wiktionary: area - forklaringer på betydninger, ordopprinnelse, synonymer, oversettelser