Referanse ellipsoid

En referanse -ellipsoid er en ellipsoid med flatede poler, vanligvis en ellipsoid av revolusjon , som brukes som et referansesystem for beregning av oppmålingsnettverk eller direkte indikasjon av geografiske koordinater. Som en matematisk figur av jorden bør den tilnærme seg området med konstant høyde (se geoid ), der den historiske utviklingen gikk fra regional gradmåling til global justering av gravitasjonsfeltet .

historie

Kloden har vært en vitenskapelig anerkjent modell av jorden siden gresk naturfilosofi. Den første tvilen om den eksakte sfæriske formen dukket opp på 1600 -tallet; Rundt 1680 kunne Isaac Newton teoretisk bevise i en tvist med Giovanni Domenico Cassini og Paris -akademiet at jordens rotasjon må forårsake utflating ved polene og ikke ved ekvator (se langstrakt ellipsoid ). Undersøkelsen av Frankrike av Philippe de La Hire og Jacques Cassini (1683–1718) antydet i utgangspunktet det motsatte. Det empiriske beviset ble bare oppnådd på midten av 1700-tallet av Pierre Bouguer og Alexis-Claude Clairaut , da målingene av ekspedisjonene til Peru (dagens Ecuador ) og Lappland (1735–1741) hadde blitt utvetydig evaluert. Denne første presise gradmåling førte også til definisjonen av måleren som den 10 millionende delen av jordens kvadrant , som imidlertid var "for kort" med 0,022% på grunn av uunngåelige små målefeil .

På 1800 -tallet begynte mange matematikere og geodesister å håndtere bestemmelsen av ellipsoide dimensjoner. De bestemte verdiene for ekvatorialradius varierte mellom 6376,9 km ( Jean-Baptiste Joseph Delambre 1810) og 6378,3 km ( Clarke 1880 ), mens den allment aksepterte Bessel-ellipsoiden viste 6377,397 km (den moderne referanseverdien er 6378,137 km). Det faktum at forskjellene overgikk målingens nøyaktighet for den tiden med fem ganger skyldes posisjonen til de enkelte undersøkelsesnettverkene på forskjellige buede områder på jordoverflaten (se avvik fra vinkelrett ).

Utflatingsverdiene varierte imidlertid mindre - mellom 1: 294 og 1: 308, noe som betyr ± 0,5 km i polaraksen. Her var Bessels verdi (1: 299,15) den desidert beste. På grunn av stadig større oppmålingsnettverk "utjevnet" resultatet på 1900 -tallet rundt 1: 298,3 ( Friedrich Robert Helmert 1906, Feodossi Krassowski 1940), noe som tilsvarer en forskjell på 21,4 km mellom ekvatorial- og polaraksen, mens Hayford Ellipsoid med 1: 297,0 var tydelig ute av linje på grunn av typen geofysisk reduksjon. På grunn av den store amerikanske innflytelsen etter andre verdenskrig, ble det likevel valgt som grunnlaget for ED50 -referansesystemet, mens " østblokken " tok Krassowski -verdiene som norm. De sistnevnte ble bekreftet som bedre som i 1970 av det globale satellitt -nettverket og global multilateralation (time-of- målinger fly på signaler fra quasars og geodetiske satellitter).

Referanse -ellipsoider i praksis

Referanse -ellipsoider brukes av geodesister til beregninger på jordoverflaten og er også det vanligste referansesystemet for andre geofag . Hver regional administrasjon og landmåling av en stat trenger en slik referanse -ellipsoid for å

å opprette et statlig oppmålingsnettverk ( nettverksutvidelse ),
lage nøyaktige kart og tydelig definere landegrensene,
for å kunne beregne plassering og form på alt land og bygninger
og å garantere grensepunktene og andre rettigheter (matrikkel , etc.) med noen få tusen såkalte faste punkter i oppmålingsnettet ( triangulering, etc.).
Siden rundt 1985 har denne “ matrikkelen ” også blitt supplert med digitale informasjonssystemer ( geografisk informasjonssystem , landinformasjonssystem , miljøinformasjonssystem , etc.), som også er basert på landets referanse -ellipsoid.

Referanse -ellipsoider i teorien

Siden den fysiske jordfiguren , geoiden , har svake bølger på grunn av uregelmessighetene på jordoverflaten og gravitasjonsfeltet , er beregninger på en geometrisk definert jordfigur mye lettere. Objektene som skal måles projiseres vertikalt på ellipsoiden og kan så til og med ses i liten skala som i et plan . For dette z. B. et Gauss-Krüger-koordinatsystem brukes.

Med høyden $H$ ${\ displaystyle h}$ $H$ avstanden til ellipsoiden er gitt, vinkelrett på overflaten. Denne vinkelrett skiller seg imidlertid fra den såkalte. Vinkelrett feil på den virkelige loddlinjen som en loddlinje ville utgjøre. For målinger som skal være mer presise enn noen få desimeter per kilometer, må denne effekten beregnes og målingene reduseres med den. Avhengig av terreng og geologi kan det vertikale avviket i Sentral -Europa være 10–50 ″ og forårsaker en forskjell mellom astronomisk og ellipsoidal lengdegrad og breddegrad ( $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ eller. $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ ).

Se også: Geodetisk hovedoppgave

Konvertering til geosentriske kartesiske koordinater

I en geosentrisk rettvinklet referanseramme, hvis opprinnelse er i midten av revolusjonens ellipsoid og i retning av rotasjonsaksen ( $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ ) så vel som hovedmeridianen ( $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ) er justert, gjelder deretter

{\begin{aligned}X&=(N_{\varphi }+h)\cos \varphi \cdot \cos \lambda \\Y&=(N_{\varphi }+h)\cos \varphi \cdot \sin \lambda \\Z&=(N_{\varphi }(1-\varepsilon ^{2})+h)\sin \varphi \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begynne {justert} X & = (N _ {\ varphi} + h) \ cos \ varphi \ cdot \ cos \ lambda \\ Y & = (N _ {\ varphi} + h) \ cos \ varphi \ cdot \ sin \ lambda \\ Z & = (N _ {\ varphi} (1- \ varepsilon ^ {2}) + h) \ sin \ varphi \ end {justert}}}

{\ displaystyle {\ begynne {justert} X & = (N _ {\ varphi} + h) \ cos \ varphi \ cdot \ cos \ lambda \\ Y & = (N _ {\ varphi} + h) \ cos \ varphi \ cdot \ sin \ lambda \\ Z & = (N _ {\ varphi} (1- \ varepsilon ^ {2}) + h) \ sin \ varphi \ end {justert}}}

med

$en$ ${\ displaystyle a}$ $en$ - stor halvakse (parametere for referanse-ellipsoiden)
$b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ - liten semiaxis (parametere for referanse -ellipsoiden)
$\varepsilon ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} {a}}}$ $\ varepsilon = {\ frac {{\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}} {a}}$ - numerisk eksentrisitet
$N_{\varphi }={\frac {a}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\sin ^{2}\varphi }}}\,\!$ ${\ displaystyle N _ {\ varphi} = {\ frac {a} {\ sqrt {1- \ varepsilon ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi}}} \, \!}$ $N _ {\ varphi} = {\ frac {a} {{\ sqrt {1- \ varepsilon ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi}}}} \, \!$ - Krumningsradius for den første vertikalen , det vil si avstanden til loddlinjen fra skjæringspunktet mellom den forlengede loddlinjen og Z-aksen.

Beregning av φ , λ og h fra kartesiske koordinater

Den ellipsoide lengden $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ kan bestemmes nøyaktig som

\lambda =\arctan \left[{\frac {Y}{X}}\right]

{\ displaystyle \ lambda = \ arctan \ venstre [{\ frac {Y} {X}} \ høyre]}

\ lambda = \ arctan \ venstre [{\ frac {Y} {X}} \ høyre]

Gitt $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ resulterer i høyden $H$ ${\ displaystyle h}$ $H$ som

h={\frac {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}{\cos \varphi }}-N_{\varphi }

{\ displaystyle h = {\ frac {\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}} {\ cos \ varphi}} - N _ {\ varphi}}

h = {\ frac {{\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}}} {\ cos \ varphi}} - N _ {\ varphi}

Selv om dette forholdet er nøyaktig, tilbyr formelen seg selv

h\approx {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\cdot \cos \varphi +Z\sin \varphi -a^{2}/N_{\varphi }

{\ displaystyle h \ approx {\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}} \ cdot \ cos \ varphi + Z \ sin \ varphi -a ^ {2} / N _ {\ varphi}}

h \ approx {\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}} \ cdot \ cos \ varphi + Z \ sin \ varphi -a ^ {2} / N _ {\ varphi}

heller for praktiske beregninger på grunn av feilen

\Delta h\approx {\frac {1}{2}}(h+{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}})(\Delta \varphi )^{2}

{\ displaystyle \ Delta h \ approx {\ frac {1} {2}} (h + {\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}}) (\ Delta \ varphi) ^ {2}}

\ Delta h \ approx {\ frac {1} {2}} (h + {\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}}) (\ Delta \ varphi) ^ {2}

bare kvadratet av feilen i $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ avhenger. ^[1] Resultatet er derfor noen få størrelsesordener mer nøyaktige.

For beregning av $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ tilnærmingsmetoder må brukes. På grunn av rotasjonssymmetrien flyttes problemet til XZ -planet ( $\lambda =0$ ${\ displaystyle \ lambda = 0}$ $\ lambda = 0$ ). For den generelle saken, da $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ gjennom ${\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}}}$ ${\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}}$ erstattet.

Ellipse med en krumningssirkel. Lengden på den grønne ruten er

N_{\varphi }

{\ displaystyle N _ {\ varphi}}

N _ {\ varphi}

.

Vinkelrett på punktet du leter etter $(X,Z)$ ${\ displaystyle (X, Z)}$ $(X, Z)$ på ellipsen har stigningen $\tan \varphi$ ${\ displaystyle \ tan \ varphi}$ $\ tan \ varphi$ . Den forlengede vinkelrett går gjennom sentrum M av krumningssirkelen , som berører ellipsen ved foten av vinkelrett. Koordinatene til senteret er

{\begin{pmatrix}X_{M}\\Z_{M}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varepsilon ^{2}a\cos ^{3}t\\-{\tilde {\varepsilon }}^{2}b\sin ^{3}t\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} X_ {M} \\ Z_ {M} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ varepsilon ^ {2} a \ cos ^ {3} t \\ - { \ tilde {\ varepsilon}} ^ {2} b \ sin ^ {3} t \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} X_ {M} \\ Z_ {M} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ varepsilon ^ {2} a \ cos ^ {3} t \\ - {{\ tilde \ varepsilon}} ^ {2} b \ sin ^ {3} t \ end {pmatrix}}

med

$t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ - parametrisk bredde , det vil si at punkter på ellipsen er gjennom $\left({\begin{smallmatrix}a\cos t\\b\sin t\end{smallmatrix}}\right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} a \ cos t \\ b \ sin t \ end {smallmatrix}} \ right)}$ $\ venstre ({\ begin {smallmatrix} a \ cos t \\ b \ sin t \ end {smallmatrix}} \ right)$ beskrevet
${\tilde {\varepsilon }}={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ varepsilon}} = {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} {b}}}$ ${\ tilde \ varepsilon} = {\ frac {{\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}} {b}}$

Dette gjelder

\tan \varphi ={\frac {Z+{\tilde {\varepsilon }}^{2}b\sin ^{3}t}{X-\varepsilon ^{2}a\cos ^{3}t}}

{\ displaystyle \ tan \ varphi = {\ frac {Z + {\ tilde {\ varepsilon}} ^ {2} b \ sin ^ {3} t} {X- \ varepsilon ^ {2} a \ cos ^ {3 } t}}}

{\ displaystyle \ tan \ varphi = {\ frac {Z + {\ tilde {\ varepsilon}} ^ {2} b \ sin ^ {3} t} {X- \ varepsilon ^ {2} a \ cos ^ {3 } t}}}

Dette er en iterativ løsning fordi $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ og $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ Om $\tan \varphi ={\frac {a}{b}}\tan t$ ${\ displaystyle \ tan \ varphi = {\ frac {a} {b}} \ tan t}$ $\ tan \ varphi = {\ frac {a} {b}} \ tan t$ er i slekt. En åpenbar startverdi ville være

\tan t_{0}={\frac {a}{b}}{\frac {Z}{X}}

{\ displaystyle \ tan t_ {0} = {\ frac {a} {b}} {\ frac {Z} {X}}}

\ tan t_ {0} = {\ frac {a} {b}} {\ frac {Z} {X}}

.

Med dette valget, etter ett iterasjonstrinn, en nøyaktighet på

\Delta \varphi \approx {\frac {3}{2}}\varepsilon ^{3}{\frac {ah^{2}}{(a+h)^{3}}}\sin ^{3}\varphi \cos ^{3}\varphi

{\ displaystyle \ Delta \ varphi \ approx {\ frac {3} {2}} \ varepsilon ^ {3} {\ frac {ah ^ {2}} {(a + h) ^ {3}}} \ sin ^ {3} \ varphi \ cos ^ {3} \ varphi}

\ Delta \ varphi \ approx {\ frac {3} {2}} \ varepsilon ^ {3} {\ frac {ah ^ {2}} {(a + h) ^ {3}}} \ sin ^ {3} \ varphi \ cos ^ {3} \ varphi

. ^[2]

Det vil si at på overflaten av jorden resultater for $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ en maksimal feil på 0.00000003 ″ og det globale maksimumet for feilen (for $h=2a$ ${\ displaystyle h = 2a}$ $h = 2a$ ) er 0,0018 ″.

Med et gunstig valg av $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ den maksimale feilen for punkter i rommet kan også reduseres ytterligere. med

\tan t_{0}={\frac {b}{a}}{\frac {Z}{X}}\left(1+{\tilde {\varepsilon }}{\frac {b}{\sqrt {X^{2}+Z^{2}}}}\right)

{\ displaystyle \ tan t_ {0} = {\ frac {b} {a}} {\ frac {Z} {X}} \ venstre (1 + {\ tilde {\ varepsilon}} {\ frac {b} { \ sqrt {X ^ {2} + Z ^ {2}}}} \ høyre)}

\ tan t_ {0} = {\ frac {b} {a}} {\ frac {Z} {X}} \ venstre (1 + {\ tilde {\ varepsilon}} {\ frac {b} {{\ sqrt {X ^ {2} + Z ^ {2}}}}} \ høyre)

er vinkelen ved å sette den inn en gang i iterasjonsformelen $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ (for jordens parametere) bestemt til nærmeste 0.0000001 ″ (uavhengig av verdien av $H$ ${\ displaystyle h}$ $H$ ).

Viktig referanse ellipsoider

Formen og størrelsen på ellipsoidene som brukes i forskjellige regioner, bestemmes generelt av deres halvstore akse $en$ ${\ displaystyle a}$ $en$ og utflatingen $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ (engl. flating ). Videre må det sentralt beliggende " grunnleggende punktet " defineres som referanse -ellipsoiden berører geoidet og dermed gir det en entydig høyde . Begge definisjonene sammen kalles " geodetisk datum ".

Selv om to land bruker den samme ellipsoiden (f.eks. Tyskland og Østerrike Bessel -ellipsoiden ), er de forskjellige på dette sentrale punktet eller grunnleggende punktet . Derfor kan koordinatene til de vanlige grensepunktene variere med opptil en kilometer.

Aksene til ellipsoidene varierer med opptil 0,01% avhengig av regionen fra hvis målinger de ble bestemt. Økningen i nøyaktigheten ved bestemmelse av utflatingen $f=(a-b)/a$ ${\ displaystyle f = (fra) / a}$ $f = (a-b) / a$ (Forskjellen mellom de ellipsoide aksene rundt 21 km) er relatert til oppskytningen av de første kunstige satellittene . Disse viste veldig tydelige sti -forstyrrelser med hensyn til stiene som var beregnet på forhånd. På grunnlag av feilene var det mulig å beregne tilbake og bestemme utflatingen mer presist.

Regionale ellipsoider 1810–1906 og globalt bestemte jordelipsoider 1924–1984
og utvikling av kunnskap om gjennomsnittlig ekvatorialradius og utflating av jorden
Ellipsoid	år	Stor halvakse a [Måler]	Liten halvakse b [Måler]	Antall = 1 / utflating ( n = 1 / f = a / ( a - b ))	Merknader	EPSG -kode
Delambre , Frankrike	1810	6 376 985		308.6465	Pionerarbeid
Schmidt	1828	6 376 804,37		302.02	Pionerarbeid
GB Luftig	1830	6.377.563,4	6.356.256,91	299 324 9646
Luftig modifisert i 1830	1830	6.377.340.189	6 356 034 447	299.3249514		EPSG :: 7002
Everest (India)	1830	6.377.276.345		300.8017		EPSG :: 7015
Bessel 1841 ^[3]	1841	6 377 397,155	6 356 078.963 ^[4]	299.1528128 ^[5]	ideelt tilpasset i Eurasia; ofte brukt i Sentral -Europa	EPSG :: 7004 ^[6]
Clarke	1866	6.378.206.400		294.9786982	ideelt tilpasset i Asia	EPSG :: 7008
Clarke 1880 / IGN	1880	6.378.249,17	6 356 514,99	293.4663		EPSG :: 7011
Friedrich Robert Helmert	1906	6.378.200.000		298,3		EPSG :: 7020
Australsk Nat.		6.378.160.000		298,25		EPSG :: 7003
Modif. Fisker	1960	6.378.155.000		298,3
Internat 1924 Hayford	1924	6.378.388.000	6 356 911 946	297,0	ideelt tilpasset i Amerika utgitt allerede i 1909	EPSG :: 7022
Krassowski	1940	6.378.245.000	6 356 863,019	298,3		EPSG :: 7024
Internat 1967 Lucerne	1967	6.378 165.000		298,25
SAD69 (Sør -Amerika)	1969	6.378.160.000		298,25
WGS72 (World Geodetic System 1972)	1972	6.378.135.000	6,356,750,52	298,26		EPSG :: 7043
GRS 80 ( Geodetic Reference System 1980 )	1980	6.378.137.000	≈ 6 356 752,3141	298.257222101		EPSG :: 7019
WGS84 ( World Geodetic System 1984 )	1984	6.378.137.000	≈ 6 356 752,3142	298.257223563	for GPS -målinger	EPSG :: 7030

Bessel -ellipsoiden er ideelt tilpasset Eurasia, slik at dens "800 m feil" er gunstig for Europas geodesi - lik de motsatte 200 m av Hayford -ellipsoiden (etter John Fillmore Hayford ) for Amerika.

Bessel -ellipsoiden er viktig for mange sentraleuropeiske land, så vel som Hayford og Krassowski ellipsoider ( stavemåling inkonsekvent), og WGS84 for GPS -målinger .

Resultatene til Delambre og von Schmidt er banebrytende arbeid og er basert på bare begrensede målinger. På den annen side oppstår den store forskjellen mellom Everest (Asia) og Hayford (Amerika) fra den geologisk bestemte geoide krumningen på forskjellige kontinenter. Hayford klarte å eliminere deler av denne effekten ved å matematisk redusere isostasen , slik at verdiene ble ansett å være bedre enn de europeiske sammenligningsverdiene på den tiden.

litteratur

Wolfgang Torge : Geodesi. 3. fullstendig revidert og utvidet utgave. De Gruyter-Verlag, Berlin et al. 2001, ISBN 3-11-017072-8 .
J. Ihde et al.: European Spatial Reference Systems - Frames for Geoinformation Systems . (PDF)

weblenker

Kartreferansesystemer, ellipsoider, geoider og topografiske overflater
MapRef - Europeiske referansesystemer og kartfremskrivninger
CRS -EU - Informasjons- og servicesystem for europeiske koordinatsystemer.
euref-iag.net - EUREF lenker til ytterligere geodetisk informasjon
epsg-registry.org - database med referansesystemer og koordinere transformasjonsparametere

Individuelle bevis

↑ Bowring: Nøyaktigheten til geodetiske breddegrad og høyde ligninger (Survey Review, Vol. 28)
^ Bowring: Transformasjon fra romlige til geografiske koordinater (Survey Review, Vol. 23)
↑ crs.bkg.bund.de , Constants for Reference Ellipsoids used for Datum Transformations ( Memento av originalen fra 6. oktober 2013 i Internettarkivet ) Info: Arkivkoblingen ble satt inn automatisk og er ikke kontrollert ennå. Vennligst sjekk originalen og arkivkoblingen i henhold til instruksjonene, og fjern deretter denne meldingen. @ 1 @ 2 Fra Bessel 1841 til WGS 1984 og innebygde Ellipsoider gir verdien for b avrundet til 1 mm, basert på parameterne a og f definert i EPSG: 7004
↑ $b=-({\tfrac {a}{n}}-a)=-({\tfrac {6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} }{\color {Green}299{,}1528128}}-6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} )=6\,356\,078{,}96282\;\mathrm {m} \simeq 6\,356\,078{,}{\color {Red}963}\;\mathrm {m}$ ${\ displaystyle b = - ({\ tfrac {a} {n}} - a) = - ({\ tfrac {6 \, 377 \, 397 {,} 155 \; \ mathrm {m}} {\ color { Grønn} 299 {,} 1528128}} - 6 \, 377 \, 397 {,} 155 \; \ mathrm {m}) = 6 \, 356 \, 078 {,} 96282 \; \ mathrm {m} \ simeq 6 \, 356 \, 078 {,} {\ color {Red} 963} \; \ mathrm {m}}$ ${\ displaystyle b = - ({\ tfrac {a} {n}} - a) = - ({\ tfrac {6 \, 377 \, 397 {,} 155 \; \ mathrm {m}} {\ color { Grønn} 299 {,} 1528128}} - 6 \, 377 \, 397 {,} 155 \; \ mathrm {m}) = 6 \, 356 \, 078 {,} 96282 \; \ mathrm {m} \ simeq 6 \, 356 \, 078 {,} {\ color {Red} 963} \; \ mathrm {m}}$
↑ Feil også $n={\tfrac {1}{f}}={\tfrac {a}{a-b}}={\tfrac {6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} }{6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} -6\,356\,078{,}{\color {Red}963}\;\mathrm {m} }}={\color {Green}299{,}15281}{\color {Red}53513205998}$ ${\ displaystyle n = {\ tfrac {1} {f}} = {\ tfrac {a} {ab}} = {\ tfrac {6 \, 377 \, 397 {,} 155 \; \ mathrm {m}} {6 \, 377 \, 397 {,} 155 \; \ mathrm {m} -6 \, 356 \, 078 {,} {\ color {Red} 963} \; \ mathrm {m}}} = {\ farge {Green} 299 {,} 15281} {\ color {Red} 53513205998}}$ ${\ displaystyle n = {\ tfrac {1} {f}} = {\ tfrac {a} {ab}} = {\ tfrac {6 \, 377 \, 397 {,} 155 \; \ mathrm {m}} {6 \, 377 \, 397 {,} 155 \; \ mathrm {m} -6 \, 356 \, 078 {,} {\ color {Red} 963} \; \ mathrm {m}}} = {\ farge {Green} 299 {,} 15281} {\ color {Red} 53513205998}}$
↑ georepository.com epsg.io EPSG: 7004 bruksområder $n={\tfrac {1}{f}}={\color {Green}299{,}1528128}$ ${\ displaystyle n = {\ tfrac {1} {f}} = {\ color {Green} 299 {,} 1528128}}$ ${\ displaystyle n = {\ tfrac {1} {f}} = {\ color {Green} 299 {,} 1528128}}$
Denne verdien kommer fra US Army Map Service Technical Manual ; 1943. “ Merknader: Original Bessel -definisjon er a = 3272077.14 og b = 3261139.33 toise. Dette brukte et veid gjennomsnitt av verdier fra flere forfattere, men redegjorde ikke for forskjeller i lengden på de forskjellige toisene: "Bessel toise" er derfor av usikker lengde. ”

[1] Bowring: Nøyaktigheten til geodetiske breddegrad og høyde ligninger (Survey Review, Vol. 28)

[2] Bowring: Transformasjon fra romlige til geografiske koordinater (Survey Review, Vol. 23)

[3] rs.bkg.bund.de , Constants for Reference Ellipsoids used for Datum Transformations ( Memento av originalen fra 6. oktober 2013 i Internettarkivet ) Info: Arkivkoblingen ble satt inn automatisk og er ikke kontrollert ennå. Vennligst sjekk originalen og arkivkoblingen i henhold til instruksjonene, og fjern deretter denne meldingen. @ 1 @ 2 Fra Bessel 1841 til WGS 1984 og innebygde Ellipsoider gir verdien for b avrundet til 1 mm, basert på parameterne a og f definert i EPSG: 7004

[4] $b=-({\tfrac {a}{n}}-a)=-({\tfrac {6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} }{\color {Green}299{,}1528128}}-6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} )=6\,356\,078{,}96282\;\mathrm {m} \simeq 6\,356\,078{,}{\color {Red}963}\;\mathrm {m}$ ${\ displaystyle b = - ({\ tfrac {a} {n}} - a) = - ({\ tfrac {6 \, 377 \, 397 {,} 155 \; \ mathrm {m}} {\ color { Grønn} 299 {,} 1528128}} - 6 \, 377 \, 397 {,} 155 \; \ mathrm {m}) = 6 \, 356 \, 078 {,} 96282 \; \ mathrm {m} \ simeq 6 \, 356 \, 078 {,} {\ color {Red} 963} \; \ mathrm {m}}$ ${\ displaystyle b = - ({\ tfrac {a} {n}} - a) = - ({\ tfrac {6 \, 377 \, 397 {,} 155 \; \ mathrm {m}} {\ color { Grønn} 299 {,} 1528128}} - 6 \, 377 \, 397 {,} 155 \; \ mathrm {m}) = 6 \, 356 \, 078 {,} 96282 \; \ mathrm {m} \ simeq 6 \, 356 \, 078 {,} {\ color {Red} 963} \; \ mathrm {m}}$

[5] Feil også $n={\tfrac {1}{f}}={\tfrac {a}{a-b}}={\tfrac {6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} }{6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} -6\,356\,078{,}{\color {Red}963}\;\mathrm {m} }}={\color {Green}299{,}15281}{\color {Red}53513205998}$ ${\ displaystyle n = {\ tfrac {1} {f}} = {\ tfrac {a} {ab}} = {\ tfrac {6 \, 377 \, 397 {,} 155 \; \ mathrm {m}} {6 \, 377 \, 397 {,} 155 \; \ mathrm {m} -6 \, 356 \, 078 {,} {\ color {Red} 963} \; \ mathrm {m}}} = {\ farge {Green} 299 {,} 15281} {\ color {Red} 53513205998}}$ ${\ displaystyle n = {\ tfrac {1} {f}} = {\ tfrac {a} {ab}} = {\ tfrac {6 \, 377 \, 397 {,} 155 \; \ mathrm {m}} {6 \, 377 \, 397 {,} 155 \; \ mathrm {m} -6 \, 356 \, 078 {,} {\ color {Red} 963} \; \ mathrm {m}}} = {\ farge {Green} 299 {,} 15281} {\ color {Red} 53513205998}}$

[6] repository.com epsg.io EPSG: 7004 bruksområder $n={\tfrac {1}{f}}={\color {Green}299{,}1528128}$ ${\ displaystyle n = {\ tfrac {1} {f}} = {\ color {Green} 299 {,} 1528128}}$ ${\ displaystyle n = {\ tfrac {1} {f}} = {\ color {Green} 299 {,} 1528128}}$
Denne verdien kommer fra US Army Map Service Technical Manual ; 1943. “ Merknader: Original Bessel -definisjon er a = 3272077.14 og b = 3261139.33 toise. Dette brukte et veid gjennomsnitt av verdier fra flere forfattere, men redegjorde ikke for forskjeller i lengden på de forskjellige toisene: "Bessel toise" er derfor av usikker lengde. ”

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]