Ellipsoid av revolusjon

utflatt revolusjonens ellipsoid

langstrakt revolusjonens ellipsoid

En roterende ellipsoid (engelsk sfæroid ) er en revolusjonsoverflate som skapes ved å rotere en ellipse rundt en av aksene. I motsetning til en tre-akset eller triaksial ellipsoid er to akser av samme lengde.

Avhengig av hvilken av de to halvakser i den genererende ellipsen som fungerer som rotasjonsaksen , skilles det:

den oblate ellipsoiden når den roterer rundt den lille halvaksen (eksempel: form på en sjokoladelinse )
den langstrakte ( prolate ) ellipsoiden når den roterer rundt den store halvaksen (eksempel: form på rugbyball ).

Skje

Rotasjonselipsoide og masseforskyvning (rød)

De fleste av de større himmellegemene er omtrent flate ellipsoider av revolusjon, som også kalles sfæroider . De er skapt av sentrifugalkraft , noe som får en roterende sfærisk kropp til å bli deformert. Disse legemene er flatet ved polene , dvs. skjæringspunktene til rotasjonsaksen , og det oppstår en bule ved ekvator . Utflatingen av de store gassplanetene Jupiter og Saturn er spesielt uttalt fordi de roterer spesielt raskt og ikke størkner. Men jorden og de andre planetene i solsystemet deformeres også til ellipsoider av rotasjon av sentrifugalkreftene som genereres under rotasjon. Jupiter, som roterer på ti timer, blir flatet med omtrent 1/16, flatingen av jorden er 1 / 298.257223563 ( WGS 84 ).

Elliptiske galakser er ofte ikke sfæroider, men triaksiale.

Parametrisk representasjon

flat og forlenget revolusjonens ellipsoid

Den følgende parametriske representasjonen beskriver en revolusjonens ellipsoid, som ved å rotere halv- ellipsen $(a\cos t,0,c\sin t),-{\tfrac {\pi }{2}}\leq t\leq {\tfrac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle (a \ cos t, 0, c \ sin t), - {\ tfrac {\ pi} {2}} \ leq t \ leq {\ tfrac {\ pi} {2}}}$ $(a \ cos t, 0, c \ sin t), - \ tfrac {\ pi} {2} \ leq t \ leq \ tfrac {\ pi} {2}$ (i $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ - $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ - nivå ) rundt $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ Aksen er opprettet (s. Surface of revolution ):

{\begin{pmatrix}a~\cos t~\cos \varphi \\a~\cos t~\sin \varphi \\c~\sin t\end{pmatrix}}\qquad (-{\tfrac {\pi }{2}}\leq t\leq {\tfrac {\pi }{2}}\ ,\ 0\leq \varphi <2\pi ,\ 0<a,c)

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a ~ \ cos t ~ \ cos \ varphi \\ a ~ \ cos t ~ \ sin \ varphi \\ c ~ \ sin t \ end {pmatrix}} \ qquad (- {\ tfrac {\ pi} {2}} \ leq t \ leq {\ tfrac {\ pi} {2}} \, \ 0 \ leq \ varphi <2 \ pi, \ 0 <a, c)}

Betalingen $en, c$ ${\ displaystyle a, c}$ $a, c$ er halvaksene til den roterende halvelipse. I tilfellet $a>c$ ${\ displaystyle a> c}$ $a> c$ skaper en flat ellipsoid av revolusjon, i saken $a<c$ $a=c$

Vær oppmerksom på at polene (punkter på rotasjonsaksen ) ikke har en tydelig representasjon.

Den resulterende revolusjonens ellipsoid har den implisitte representasjonen :

{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ .

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} = 1 \. }

\ frac {x ^ 2 + y ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {z ^ 2} {c ^ 2} = 1 \.

volum

Volumet av revolusjonens ellipsoid ovenfor er

V={\frac {4\pi }{3}}a^{2}c

{\ displaystyle V = {\ frac {4 \ pi} {3}} a ^ {2} c}

V = \ frac {4 \ pi} {3} a ^ 2 c

.

Det er $en$ ${\ displaystyle a}$ $en$ radius av ekvatorial sirkel og $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ avstanden til polene fra midten .

flate

Overflaten ^[1] for den flate ellipsoiden ( $a>c$ ${\ displaystyle a> c}$ $a> c$ ) beregnes med

A=2\pi a\left(a+{\frac {c^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\,\operatorname {arsinh} \left({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{c}}\right)\right)\ ,

{\ displaystyle A = 2 \ pi a \ left (a + {\ frac {c ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}}} \, \ operatorname {arsinh} \ venstre ({\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}} {c}} \ høyre) \ høyre) \,}

A = 2 \ pi a \ left (a + {\ frac {c ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}}}} \, \ operatorname {arsinh} \ left ({ \ frac {\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}} {c}} \ right) \ right) \,

den for den langstrakte ellipsoiden ( $c>a$ ${\ displaystyle c> a}$ $c> a$ ) med

A=2\pi a\left(a+{\frac {c^{2}}{\sqrt {c^{2}-a^{2}}}}\,\operatorname {arcsin} \left({\frac {\sqrt {c^{2}-a^{2}}}{c}}\right)\right)\ .

{\ displaystyle A = 2 \ pi a \ left (a + {\ frac {c ^ {2}} {\ sqrt {c ^ {2} -a ^ {2}}}} \, \ operatorname {arcsin} \ venstre ({\ frac {\ sqrt {c ^ {2} -a ^ {2}}} {c}} \ høyre) \ høyre) \.}

A = 2 \ pi a \ left (a + {\ frac {c ^ {2}} {\ sqrt {c ^ {2} -a ^ {2}}}}} \, \ operatorname {arcsin} \ left ({ \ frac {\ sqrt {c ^ {2} -a ^ {2}}} {c}} \ right) \ right) \.

En kule med radius $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ har volumet $V={\frac {4\pi }{3}}r^{3}$ ${\ displaystyle V = {\ frac {4 \ pi} {3}} r ^ {3}}$ $V = \ frac {4 \ pi} {3} r ^ 3$ og overflaten $A=4\pi r^{2}$ ${\ displaystyle A = 4 \ pi r ^ {2}}$ $A = 4 \ pi r ^ {2}$ (se sfære).

Avledning av formlene

Innholdet i overflatekonvolutten ved å rotere kurven $(r(t),0,z(t))\ ,t_{1}\leq t\leq t_{2}$ ${\ displaystyle (r (t), 0, z (t)) \, t_ {1} \ leq t \ leq t_ {2}}$ $(r (t), 0, z (t)) \, t_1 \ le t \ le t_2$ revolusjonens overflate

A=2\pi \int _{t_{1}}^{t_{2}}r\ {\sqrt {{\dot {r}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}\,dt.\

{\ displaystyle A = 2 \ pi \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} r \ {\ sqrt {{\ dot {r}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2}}} \, tysk \}

A = 2 \ pi \ int_ {t_1} ^ {t_2} r \ \ sqrt {\ dot r ^ 2 + \ dot z ^ 2} \, dt. \

(se revolusjonens overflate )

For revolusjonens ellipsoid ovenfor er $r(t)=a\cos t,\ z(t)=c\sin t$ ${\ displaystyle r (t) = a \ cos t, \ z (t) = c \ sin t}$ $r (t) = a \ cos t, \ z (t) = c \ sin t$ . Så det må være integralet

A=2\cdot 2\pi \int _{0}^{\pi /2}a\cos t{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+c^{2}\cos ^{2}t}}\mathrm {d} t

{\ displaystyle A = 2 \ cdot 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} a \ cos t {\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + c ^ {2} \ cos ^ {2} t}} \ mathrm {d} t}

A = 2 \ cdot 2 \ pi \ int_0 ^ {\ pi / 2} a \ cos t \ sqrt {a ^ 2 \ sin ^ 2 t + c ^ 2 \ cos ^ 2 t} \ mathrm {d} t

(2 ganger en halv ellipsoid) kan beregnes. til $a=c$ ${\ displaystyle a = c}$ $a = c$ er ${\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+c^{2}\cos ^{2}t}}={\sqrt {a^{2}(\sin ^{2}t+\cos ^{2}t)}}=a$ ${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + c ^ {2} \ cos ^ {2} t}} = {\ sqrt {a ^ {2} (\ sin ^ {2 } t + \ cos ^ {2} t)}} = a}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + c ^ {2} \ cos ^ {2} t}} = {\ sqrt {a ^ {2} (\ sin ^ {2 } t + \ cos ^ {2} t)}} = a}$ og overflaten av en kule resulterer. Følgende er $a\neq c$ ${\ displaystyle a \ neq c}$ $a \ ne c$ sørget for.

Erstatningen $u=\sin t$ ${\ displaystyle u = \ sin t}$ $u = \ sin t$ med $\mathrm {d} u=\cos t\mathrm {d} t$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} u = \ cos t \ mathrm {d} t}$ $\ mathrm {d} u = \ cos t \ mathrm {d} t$ fører til

A=4\pi a\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {a^{2}u^{2}+c^{2}(1-u^{2})}}\ \mathrm {d} u=4\pi a\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {(a^{2}-c^{2})u^{2}+c^{2}}}\ \mathrm {d} u

{\ displaystyle A = 4 \ pi a \ int _ {0} ^ {1} \! \! {\ sqrt {a ^ {2} u ^ {2} + c ^ {2} (1-u ^ {2 })}} \ \ mathrm {d} u = 4 \ pi a \ int _ {0} ^ {1} \! \! {\ sqrt {(a ^ {2} -c ^ {2}) u ^ { 2} + c ^ {2}}} \ \ mathrm {d} u}

A = 4 \ pi a \ int_0 ^ 1 \! \! \ sqrt {a ^ 2 u ^ 2 + c ^ 2 (1-u ^ 2)} \ \ mathrm {d} u = 4 \ pi a \ int_0 ^ 1 \! \! \ sqrt {(a ^ 2-c ^ 2) u ^ 2 + c ^ 2} \ \ mathrm {d} u

og dermed til

A=4\pi a{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {u^{2}+{\frac {c^{2}}{a^{2}-c^{2}}}}}\ \mathrm {d} u\quad ,

{\ displaystyle A = 4 \ pi a {\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {1} \! \! {\ sqrt {u ^ {2} + {\ frac {c ^ {2}} {a ^ {2} -c ^ {2}}}}} \ \ mathrm {d} u \ quad,}

A = 4 \ pi a \ sqrt {a ^ 2-c ^ 2} \ int_0 ^ 1 \! \! \ sqrt {u ^ 2 + \ frac {c ^ 2} {a ^ 2-c ^ 2}} \ \ mathrm {d} u \ quad,

hvis

a>c

{\ displaystyle a> c}

a> c

, og

A=4\pi a{\sqrt {c^{2}-a^{2}}}\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {{\frac {c^{2}}{c^{2}-a^{2}}}-u^{2}}}\ \mathrm {d} u\quad ,

{\ displaystyle A = 4 \ pi a {\ sqrt {c ^ {2} -a ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {1} \! \! {\ sqrt {{\ frac {c ^ {2}} {c ^ {2} -a ^ {2}}} - u ^ {2}}} \ \ mathrm {d} u \ quad,}

A = 4 \ pi a \ sqrt {c ^ 2-a ^ 2} \ int_0 ^ 1 \! \! \ sqrt {\ frac {c ^ 2} {c ^ 2 -a ^ 2} -u ^ 2} \ \ mathrm {d} u \ quad,

hvis

c>a

{\ displaystyle c> a}

c> a

.

Tatt i betraktning at brøkdelen under kvadratroten er positiv i begge tilfeller, er antiderivativene for de to integralene og til slutt formlene gitt ovenfor for overflaten resultatet av en integrasjonstabell (f.eks. Bronstein-Semendjajew ).

bruk

I geodesi , kartografi og de andre geofagene brukes revolusjonens ellipsoider som en geometrisk tilnærming til den fysiske geoiden . Disse revolusjonens ellipsoider fungerer deretter som en referanseoverflate for å indikere plasseringen eller høyden til gjenstander på jordoverflaten . Man snakker da om en referanse -ellipsoid .

I en hul kropp gjenspeiler grenseoverflatene til (strukket) revolusjonens ellipsoid strålingen fra det ene fokuspunktet til det andre. Et hviskehvelv bruker effekten til å samle lydbølger .
Optiske reflektorer formet på denne måten konsentrerer strålingen fra en nesten punktformet lyskilde plassert i et av fokuspunktene til det andre fokuspunktet for ellipsoiden . Grensesnittet til en fiberoptisk kabel , et annet optisk element eller plasseringen av en strålingsindusert prosess kan lokaliseres der.

Søknad eksempler

Jupiter og Saturn

Planetene Jupiter og Saturn er mye flatere ved polene enn ved ekvator på grunn av sentrifugalkreftene som virker på grunn av den raske rotasjonen og har omtrent formen på en ellipsoid av revolusjon.

Jupiter

Jupiter har en ekvatorial diameter på 142 984 km og en poldiameter på 133 708 km. Gjelder også halvaksen $a=71492\ \mathrm {km}$ ${\ displaystyle a = 71492 \ \ mathrm {km}}$ ${\ displaystyle a = 71492 \ \ mathrm {km}}$ og $c=66854\ \mathrm {km}$ ${\ displaystyle c = 66854 \ \ mathrm {km}}$ ${\ displaystyle c = 66854 \ \ mathrm {km}}$ . Jupiters masse er omtrent 1.899 · 10 ²⁷ kg. Ved å bruke formlene ovenfor for volum , gjennomsnittlig tetthet og overflate, resulterer dette i:

Volum : $V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot a^{2}\cdot c={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot (71492\ \mathrm {km} )^{2}\cdot 66854\ \mathrm {km} \approx 1{,}4313\cdot 10^{15}\ \mathrm {km^{3}}$ ${\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot a ^ {2} \ cdot c = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot (71492 \ \ mathrm {km}) ^ {2} \ times 66854 \ \ mathrm {km} \ ca 1 {,} 4313 \ times 10 ^ {15} \ \ mathrm {km ^ {3}}}$ ${\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot a ^ {2} \ cdot c = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot (71492 \ \ mathrm {km}) ^ {2} \ times 66854 \ \ mathrm {km} \ ca 1 {,} 4313 \ times 10 ^ {15} \ \ mathrm {km ^ {3}}}$

Det er omtrent 1321 ganger jordens volum .

Middels tetthet : $\rho ={\frac {m}{V}}={\frac {1{,}899\cdot 10^{27}\ \mathrm {kg} }{1{,}4313\cdot 10^{15}\ \mathrm {km^{3}} }}={\frac {1{,}899\cdot 10^{27}\ \mathrm {kg} }{1{,}4313\cdot 10^{24}\ \mathrm {m^{3}} }}\approx 1327\ \mathrm {kg} /\mathrm {m^{3}}$ ${\ displaystyle \ rho = {\ frac {m} {V}} = {\ frac {1 {,} 899 \ cdot 10 ^ {27} \ \ mathrm {kg}} {1 {,} 4313 \ cdot 10 ^ {15} \ \ mathrm {km ^ {3}}}} = {\ frac {1 {,} 899 \ cdot 10 ^ {27} \ \ mathrm {kg}} {1 {,} 4313 \ cdot 10 ^ { 24} \ \ mathrm {m ^ {3}}}} \ ca 1327 \ \ mathrm {kg} / \ mathrm {m ^ {3}}}$ ${\ displaystyle \ rho = {\ frac {m} {V}} = {\ frac {1 {,} 899 \ cdot 10 ^ {27} \ \ mathrm {kg}} {1 {,} 4313 \ cdot 10 ^ {15} \ \ mathrm {km ^ {3}}}} = {\ frac {1 {,} 899 \ cdot 10 ^ {27} \ \ mathrm {kg}} {1 {,} 4313 \ cdot 10 ^ { 24} \ \ mathrm {m ^ {3}}}} \ ca 1327 \ \ mathrm {kg} / \ mathrm {m ^ {3}}}$

Totalt sett har Jupiter en litt høyere tetthet enn vann under standardforhold .

Overflate : $A\approx 4\cdot \pi \cdot \left({\frac {(a\cdot b)^{\frac {8}{5}}+(a\cdot c)^{\frac {8}{5}}+(b\cdot c)^{\frac {8}{5}}}{3}}\right)^{\frac {5}{8}}=4\cdot \pi \cdot \left({\frac {(71492\ \mathrm {km} \cdot 71492\ \mathrm {km} )^{\frac {8}{5}}+(71492\ \mathrm {km} \cdot 66854\ \mathrm {km} )^{\frac {8}{5}}+(71492\ \mathrm {km} \cdot 66854\ \mathrm {km} )^{\frac {8}{5}}}{3}}\right)^{\frac {5}{8}}\approx 6{,}15\cdot 10^{10}\ \mathrm {km^{2}}$ ${\ displaystyle A \ approx 4 \ cdot \ pi \ cdot \ left ({\ frac {(a \ cdot b) ^ {\ frac {8} {5}} + (a \ cdot c) ^ {\ frac {8 } {5}} + (b \ cdot c) ^ {\ frac {8} {5}}} {3}} \ høyre) ^ {\ frac {5} {8}} = 4 \ cdot \ pi \ cdot \ venstre ({\ frac {(71492 \ \ mathrm {km} \ cdot 71492 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}} + (71492 \ \ mathrm {km} \ cdot 66854 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}} + (71492 \ \ mathrm {km} \ cdot 66854 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}}} {3} } \ høyre) ^ {\ frac {5} {8}} \ ca 6 {,} 15 \ cdot 10 ^ {10} \ \ mathrm {km ^ {2}}}$ ${\ displaystyle A \ approx 4 \ cdot \ pi \ cdot \ left ({\ frac {(a \ cdot b) ^ {\ frac {8} {5}} + (a \ cdot c) ^ {\ frac {8 } {5}} + (b \ cdot c) ^ {\ frac {8} {5}}} {3}} \ høyre) ^ {\ frac {5} {8}} = 4 \ cdot \ pi \ cdot \ venstre ({\ frac {(71492 \ \ mathrm {km} \ cdot 71492 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}} + (71492 \ \ mathrm {km} \ cdot 66854 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}} + (71492 \ \ mathrm {km} \ cdot 66854 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}}} {3} } \ høyre) ^ {\ frac {5} {8}} \ ca 6 {,} 15 \ cdot 10 ^ {10} \ \ mathrm {km ^ {2}}}$

Det er omtrent 121 ganger overflaten av jorden.

Saturn

Saturn har en ekvatorial diameter på 120.536 km og en poldiameter på 108.728 km. Gjelder også halvaksen $a=60268\ \mathrm {km}$ ${\ displaystyle a = 60268 \ \ mathrm {km}}$ ${\ displaystyle a = 60268 \ \ mathrm {km}}$ og $c=54364\ \mathrm {km}$ ${\ displaystyle c = 54364 \ \ mathrm {km}}$ ${\ displaystyle c = 54364 \ \ mathrm {km}}$ . Massen til Saturn er omtrent 5.683 · 10 ²⁶ kg. Dette resulterer i:

Volum : $V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot a^{2}\cdot c={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot (60268\ \mathrm {km} )^{2}\cdot 54364\ \mathrm {km} \approx 8{,}2713\cdot 10^{14}\ \mathrm {km^{3}}$ ${\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot a ^ {2} \ cdot c = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot (60268 \ \ mathrm {km}) ^ {2} \ times 54364 \ \ mathrm {km} \ ca 8 {,} 2713 \ times 10 ^ {14} \ \ mathrm {km ^ {3}}}$ ${\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot a ^ {2} \ cdot c = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot (60268 \ \ mathrm {km}) ^ {2} \ times 54364 \ \ mathrm {km} \ ca 8 {,} 2713 \ times 10 ^ {14} \ \ mathrm {km ^ {3}}}$

Det er omtrent 764 ganger jordens volum .

Middels tetthet : $\rho ={\frac {m}{V}}={\frac {5{,}683\cdot 10^{26}\ \mathrm {kg} }{8{,}2713\cdot 10^{14}\ \mathrm {km^{3}} }}={\frac {5{,}683\cdot 10^{26}\ \mathrm {kg} }{8{,}2713\cdot 10^{23}\ \mathrm {m^{3}} }}\approx 687\ \mathrm {kg} /\mathrm {m^{3}}$ ${\ displaystyle \ rho = {\ frac {m} {V}} = {\ frac {5 {,} 683 \ cdot 10 ^ {26} \ \ mathrm {kg}} {8 {,} 2713 \ cdot 10 ^ {14} \ \ mathrm {km ^ {3}}}} = {\ frac {5 {,} 683 \ cdot 10 ^ {26} \ \ mathrm {kg}} {8 {,} 2713 \ cdot 10 ^ { 23} \ \ mathrm {m ^ {3}}}} \ ca 687 \ \ mathrm {kg} / \ mathrm {m ^ {3}}}$ ${\ displaystyle \ rho = {\ frac {m} {V}} = {\ frac {5 {,} 683 \ cdot 10 ^ {26} \ \ mathrm {kg}} {8 {,} 2713 \ cdot 10 ^ {14} \ \ mathrm {km ^ {3}}}} = {\ frac {5 {,} 683 \ cdot 10 ^ {26} \ \ mathrm {kg}} {8 {,} 2713 \ cdot 10 ^ { 23} \ \ mathrm {m ^ {3}}}} \ ca 687 \ \ mathrm {kg} / \ mathrm {m ^ {3}}}$

Totalt sett har Saturn en litt lavere tetthet enn vann under standardforhold .

Overflate : $A\approx 4\cdot \pi \cdot \left({\frac {(a\cdot b)^{\frac {8}{5}}+(a\cdot c)^{\frac {8}{5}}+(b\cdot c)^{\frac {8}{5}}}{3}}\right)^{\frac {5}{8}}=4\cdot \pi \cdot \left({\frac {(60268\ \mathrm {km} \cdot 60268\ \mathrm {km} )^{\frac {8}{5}}+(60268\ \mathrm {km} \cdot 54364\ \mathrm {km} )^{\frac {8}{5}}+(60268\ \mathrm {km} \cdot 54364\ \mathrm {km} )^{\frac {8}{5}}}{3}}\right)^{\frac {5}{8}}\approx 4{,}27\cdot 10^{10}\ \mathrm {km^{2}}$ ${\ displaystyle A \ approx 4 \ cdot \ pi \ cdot \ left ({\ frac {(a \ cdot b) ^ {\ frac {8} {5}} + (a \ cdot c) ^ {\ frac {8 } {5}} + (b \ cdot c) ^ {\ frac {8} {5}}} {3}} \ høyre) ^ {\ frac {5} {8}} = 4 \ cdot \ pi \ cdot \ venstre ({\ frac {(60268 \ \ mathrm {km} \ cdot 60268 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}} + (60268 \ \ mathrm {km} \ cdot 54364 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}} + (60268 \ \ mathrm {km} \ cdot 54364 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}}} {3} } \ høyre) ^ {\ frac {5} {8}} \ ca 4 {,} 27 \ cdot 10 ^ {10} \ \ mathrm {km ^ {2}}}$ ${\ displaystyle A \ approx 4 \ cdot \ pi \ cdot \ left ({\ frac {(a \ cdot b) ^ {\ frac {8} {5}} + (a \ cdot c) ^ {\ frac {8 } {5}} + (b \ cdot c) ^ {\ frac {8} {5}}} {3}} \ høyre) ^ {\ frac {5} {8}} = 4 \ cdot \ pi \ cdot \ venstre ({\ frac {(60268 \ \ mathrm {km} \ cdot 60268 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}} + (60268 \ \ mathrm {km} \ cdot 54364 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}} + (60268 \ \ mathrm {km} \ cdot 54364 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}}} {3} } \ høyre) ^ {\ frac {5} {8}} \ ca 4 {,} 27 \ cdot 10 ^ {10} \ \ mathrm {km ^ {2}}}$

Det er omtrent 84 ganger jordens overflate .

Rugbyball

En rugbyball har en lengde på omtrent 280 millimeter og en diameter på omtrent 200 millimeter på den mindre aksen. Gjelder også halvaksen $a=100\ \mathrm {mm}$ ${\ displaystyle a = 100 \ \ mathrm {mm}}$ ${\ displaystyle a = 100 \ \ mathrm {mm}}$ og $c=140\ \mathrm {mm}$ ${\ displaystyle c = 140 \ \ mathrm {mm}}$ ${\ displaystyle c = 140 \ \ mathrm {mm}}$ . Massen til en rugbyball er rundt 400 gram, noe som betyr:

Volum : $V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot a^{2}\cdot c={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot (100\ \mathrm {mm} )^{2}\cdot 140\ \mathrm {mm} \approx 5{,}86\cdot 10^{6}\ \mathrm {mm^{3}} =5{,}86\cdot 10^{-3}\ \mathrm {m^{3}}$ ${\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot a ^ {2} \ cdot c = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot (100 \ \ mathrm {mm}) ^ {2} \ cdot 140 \ \ mathrm {mm} \ approx 5 {,} 86 \ cdot 10 ^ {6} \ \ mathrm {mm ^ {3}} = 5 {,} 86 \ cdot 10 ^ {- 3} \ \ mathrm {m ^ {3}}}$ ${\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot a ^ {2} \ cdot c = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot (100 \ \ mathrm {mm}) ^ {2} \ cdot 140 \ \ mathrm {mm} \ approx 5 {,} 86 \ cdot 10 ^ {6} \ \ mathrm {mm ^ {3}} = 5 {,} 86 \ cdot 10 ^ {- 3} \ \ mathrm {m ^ {3}}}$
Middels tetthet : $\rho ={\frac {m}{V}}={\frac {400\ \mathrm {g} }{5{,}86\cdot 10^{-3}\ \mathrm {m^{3}} }}={\frac {0{,}4\ \mathrm {kg} }{5{,}86\cdot 10^{-3}\ \mathrm {m^{3}} }}\approx 68\ \mathrm {kg} /\mathrm {m^{3}}$ ${\ displaystyle \ rho = {\ frac {m} {V}} = {\ frac {400 \ \ mathrm {g}} {5 {,} 86 \ cdot 10 ^ {- 3} \ \ mathrm {m ^ { 3}}}} = {\ frac {0 {,} 4 \ \ mathrm {kg}} {5 {,} 86 \ cdot 10 ^ {- 3} \ \ mathrm {m ^ {3}}}} \ \ approx 68 \ \ mathrm {kg} / \ mathrm {m ^ {3}}}$ ${\ displaystyle \ rho = {\ frac {m} {V}} = {\ frac {400 \ \ mathrm {g}} {5 {,} 86 \ cdot 10 ^ {- 3} \ \ mathrm {m ^ { 3}}}} = {\ frac {0 {,} 4 \ \ mathrm {kg}} {5 {,} 86 \ cdot 10 ^ {- 3} \ \ mathrm {m ^ {3}}}} \ \ approx 68 \ \ mathrm {kg} / \ mathrm {m ^ {3}}}$

Se også

Ellipsoid
Revolusjonens paraboloid
Rotasjonshyperboloid
Achernar

weblenker

Wiktionary: ellipsoid of revolution - forklaringer på betydninger, ordopprinnelse, synonymer, oversettelser

Individuelle bevis

↑ Beyer, CRC Handbook of Mathematical Sciences, 5. utgave, s. 198.

[1] Beyer, CRC Handbook of Mathematical Sciences, 5. utgave, s. 198.

[1]