Ellipsoid av revolusjon

fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigasjon Hopp til søk
utflatt revolusjonens ellipsoid
langstrakt revolusjonens ellipsoid

En roterende ellipsoid (engelsk sfæroid ) er en revolusjonsoverflate som skapes ved å rotere en ellipse rundt en av aksene. I motsetning til en tre-akset eller triaksial ellipsoid er to akser av samme lengde.

Avhengig av hvilken av de to halvakser i den genererende ellipsen som fungerer som rotasjonsaksen , skilles det:

Skje

Rotasjonselipsoide og masseforskyvning (rød)

De fleste av de større himmellegemene er omtrent flate ellipsoider av revolusjon, som også kalles sfæroider . De er skapt av sentrifugalkraft , noe som får en roterende sfærisk kropp til å bli deformert. Disse legemene er flatet ved polene , dvs. skjæringspunktene til rotasjonsaksen , og det oppstår en bule ved ekvator . Utflatingen av de store gassplanetene Jupiter og Saturn er spesielt uttalt fordi de roterer spesielt raskt og ikke størkner. Men jorden og de andre planetene i solsystemet deformeres også til ellipsoider av rotasjon av sentrifugalkreftene som genereres under rotasjon. Jupiter, som roterer på ti timer, blir flatet med omtrent 1/16, flatingen av jorden er 1 / 298.257223563 ( WGS 84 ).

Elliptiske galakser er ofte ikke sfæroider, men triaksiale.

Parametrisk representasjon

flat og forlenget revolusjonens ellipsoid

Den følgende parametriske representasjonen beskriver en revolusjonens ellipsoid, som ved å rotere halv- ellipsen (i - - nivå ) rundt Aksen er opprettet (s. Surface of revolution ):

.

Betalingen er halvaksene til den roterende halvelipse. I tilfellet skaper en flat ellipsoid av revolusjon, i saken en langstrakt revolusjonens ellipsoid. Hvis er en kule med en radius .

Vær oppmerksom på at polene (punkter på rotasjonsaksen ) ikke har en tydelig representasjon.

Den resulterende revolusjonens ellipsoid har den implisitte representasjonen :

volum

Volumet av revolusjonens ellipsoid ovenfor er

.

Det er radius av ekvatorial sirkel og avstanden til polene fra midten .

flate

Overflaten [1] for den flate ellipsoiden ( ) beregnes med

den for den langstrakte ellipsoiden ( ) med

En kule med radius har volumet og overflaten (se sfære).

Avledning av formlene

Innholdet i overflatekonvolutten ved å rotere kurven revolusjonens overflate

(se revolusjonens overflate )

For revolusjonens ellipsoid ovenfor er . Så det må være integralet

(2 ganger en halv ellipsoid) kan beregnes. til er og overflaten av en kule resulterer. Følgende er sørget for.

Erstatningen med fører til

og dermed til

hvis , og
hvis .

Tatt i betraktning at brøkdelen under kvadratroten er positiv i begge tilfeller, er antiderivativene for de to integralene og til slutt formlene gitt ovenfor for overflaten resultatet av en integrasjonstabell (f.eks. Bronstein-Semendjajew ).

bruk

I geodesi , kartografi og de andre geofagene brukes revolusjonens ellipsoider som en geometrisk tilnærming til den fysiske geoiden . Disse revolusjonens ellipsoider fungerer deretter som en referanseoverflate for å indikere plasseringen eller høyden til gjenstander på jordoverflaten . Man snakker da om en referanse -ellipsoid .

I en hul kropp gjenspeiler grenseoverflatene til (strukket) revolusjonens ellipsoid strålingen fra det ene fokuspunktet til det andre. Et hviskehvelv bruker effekten til å samle lydbølger .
Optiske reflektorer formet på denne måten konsentrerer strålingen fra en nesten punktformet lyskilde plassert i et av fokuspunktene til det andre fokuspunktet for ellipsoiden . Grensesnittet til en fiberoptisk kabel , et annet optisk element eller plasseringen av en strålingsindusert prosess kan lokaliseres der.

Søknad eksempler

Jupiter og Saturn

Planetene Jupiter og Saturn er mye flatere ved polene enn ved ekvator på grunn av sentrifugalkreftene som virker på grunn av den raske rotasjonen og har omtrent formen på en ellipsoid av revolusjon.

Jupiter

Jupiter har en ekvatorial diameter på 142 984 km og en poldiameter på 133 708 km. Gjelder også halvaksen og . Jupiters masse er omtrent 1.899 · 10 27 kg. Ved å bruke formlene ovenfor for volum , gjennomsnittlig tetthet og overflate, resulterer dette i:

  • Volum :
Det er omtrent 1321 ganger jordens volum .
  • Middels tetthet :
Totalt sett har Jupiter en litt høyere tetthet enn vann under standardforhold .
  • Overflate :
Det er omtrent 121 ganger overflaten av jorden.

Saturn

Saturn har en ekvatorial diameter på 120.536 km og en poldiameter på 108.728 km. Gjelder også halvaksen og . Massen til Saturn er omtrent 5.683 · 10 26 kg. Dette resulterer i:

  • Volum :
Det er omtrent 764 ganger jordens volum .
  • Middels tetthet :
Totalt sett har Saturn en litt lavere tetthet enn vann under standardforhold .
  • Overflate :
Det er omtrent 84 ganger jordens overflate .

Rugbyball

En rugbyball har en lengde på omtrent 280 millimeter og en diameter på omtrent 200 millimeter på den mindre aksen. Gjelder også halvaksen og . Massen til en rugbyball er rundt 400 gram, noe som betyr:

  • Volum :
  • Middels tetthet :

Se også

weblenker

Wiktionary: ellipsoid of revolution - forklaringer på betydninger, ordopprinnelse, synonymer, oversettelser

Individuelle bevis

  1. Beyer, CRC Handbook of Mathematical Sciences, 5. utgave, s. 198.