Tilknyttede Legendre -polynomer

fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigasjon Hopp til søk

Tilknyttede Legendre -polynomer eller tilhørende Legendre -polynomer , også kalt tildelte sfæriske funksjoner , er funksjoner som brukes i matematikk og teoretisk fysikk . Siden ikke alle tildelte Legendre -polynomer virkelig er polynomer , snakker mange forfattere også om tildelte eller tilknyttede Legendre -funksjoner .

De tilhørende Legendre -polynomene er løsningene til den generelle Legendre -ligningen:

Denne vanlige differensiallikningen har ikke-entydige løsninger i intervallet bare hvis og er heltall med .

Den generelle Legendre -ligningen (og dermed de tilhørende Legendre -polynomene) er ofte påvist i fysikken, spesielt når det er sfærisk symmetri , for eksempel i det sentrale potensialet . Her kan Laplace -ligningen og relaterte partielle differensialligninger ofte reduseres til den generelle Legendre -ligningen . Det mest fremtredende eksemplet på dette er den kvantemekaniske løsningen av energistatusene til hydrogenatomet .

definisjon

De tildelte Legendre -polynomene for m = 0 er de vanlige Legendre -polynomene.
Tildelt Legendre -polynom for m = 1
Tildelte Legendre -polynomer for m = 2
Tilordnede Legendre -polynomer for m = 3

De tildelte Legendre -polynomene lagres som utpekt. Den enkleste måten å definere dem på som derivater av vanlige Legendre -polynomer :

der de -det er Legendre -polynom

.

Dette resulterer i

Forbindelse med Legendre -polynomer

Den generaliserte Legendre -ligningen gjelder inn i Legendre -ligningen, slik at gjelder.

Ortogonalitet

For de tildelte Legendre -polynomene gjelder i intervallet to ortogonalitetsforhold:

Den andre integralen er bare definert hvis enten eller er ikke lik 0.

Tilkobling til enhetens sfære

Det viktigste er saken . Den tilhørende Legendre -ligningen leser deretter

Fordi i henhold til substitusjonsregelen

holder, blir de ovennevnte ortogonalitetsrelasjonene lett overført til enhetssfæren.

ovenfor de såkalte sfæriske overflatefunksjonene er definert som

som danner et komplett ortonormalt system på enhetssfæren.

De første tildelte Legendre -polynomene

Følgende rekursjonsformel gjelder for de tildelte Legendre -polynomene

De tilhørende startverdiene for rekursjonsformelen vises som følger:

Forholdet mellom de tilhørende Legendre -polynomene med positivt og negativt Er som følgende.

De første Legendre -polynomene er dermed bestemt

Og med som et argument

Tilordnede Legendre -funksjoner av 2. slag

I likhet med Legendre -ligningen, de tildelte Legendre -polynomene representerer bare en gruppe løsningsfunksjoner i den generaliserte Legendre -ligningen De tildelte Legendre -funksjonene av den andre typen representerer også løsninger. Dette gjelder også dem med Legendre -funksjonene av 2. slag .

weblenker

litteratur