Tilknyttede Legendre -polynomer

Tilknyttede Legendre -polynomer eller tilhørende Legendre -polynomer , også kalt tildelte sfæriske funksjoner , er funksjoner som brukes i matematikk og teoretisk fysikk . Siden ikke alle tildelte Legendre -polynomer virkelig er polynomer , snakker mange forfattere også om tildelte eller tilknyttede Legendre -funksjoner .

De tilhørende Legendre -polynomene er løsningene til den generelle Legendre -ligningen:

(1-x^{2})\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}\,y}{\mathrm {d} x^{2}}}-2x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+\left(\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0

{\ displaystyle (1 -x ^ {2}) \, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \, y} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} - 2x {\ frac { \ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} + \ venstre (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {1 -x ^ {2}}} \ høyre) \, y = 0}

(1 -x ^ 2) \, \ frac {\ mathrm {d} ^ 2 \, y} {\ mathrm {d} x ^ 2} - 2x \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d } x} + \ venstre (\ ell (\ ell + 1) - \ frac {m ^ 2} {1 -x ^ 2} \ høyre) \, y = 0

Denne vanlige differensiallikningen har ikke-entydige løsninger i intervallet $[-1,1]$ ${\ displaystyle [-1.1]}$ $[-1, 1]$ bare hvis $\ell \,$ ${\ displaystyle \ ell \,}$ $\ ell \,$ og $m\,$ ${\ displaystyle m \,}$ $m \,$ er heltall med $0\leq m\leq \ell$ ${\ displaystyle 0 \ leq m \ leq \ ell}$ $0 \ leq m \ leq \ ell$ .

Den generelle Legendre -ligningen (og dermed de tilhørende Legendre -polynomene) er ofte påvist i fysikken, spesielt når det er sfærisk symmetri , for eksempel i det sentrale potensialet . Her kan Laplace -ligningen og relaterte partielle differensialligninger ofte reduseres til den generelle Legendre -ligningen . Det mest fremtredende eksemplet på dette er den kvantemekaniske løsningen av energistatusene til hydrogenatomet .

definisjon

De tildelte Legendre -polynomene for m = 0 er de vanlige Legendre -polynomene.

Tildelt Legendre -polynom for m = 1

Tildelte Legendre -polynomer for m = 2

Tilordnede Legendre -polynomer for m = 3

De tildelte Legendre -polynomene lagres som $P_{\ell }^{(m)}(x)$ ${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {(m)} (x)}$ $P _ {\ ell} ^ {{(m)}} (x)$ utpekt. Den enkleste måten å definere dem på som derivater av vanlige Legendre -polynomer :

P_{\ell }^{(m)}(x)=(-1)^{m}\left(1-x^{2}\right)^{m/2}{\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} x^{m}}}P_{\ell }(x)

{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {(m)} (x) = (- 1) ^ {m} \ venstre (1-x ^ {2} \ høyre) ^ {m / 2} {\ frac { \ mathrm {d} ^ {m}} {\ mathrm {d} x ^ {m}}} P _ {\ ell} (x)}

P _ {\ ell} ^ {{(m)}} (x) = (- 1) ^ {m} \ venstre (1-x ^ {2} \ høyre) ^ {{m / 2}} {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {m}} {{\ mathrm {d}} x ^ {m}}} P _ {\ ell} (x)

der $P_{\ell }(x)$ ${\ displaystyle P _ {\ ell} (x)}$ $P _ {\ ell} (x)$ de $\ell$ ${\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ -det er Legendre -polynom

P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell !}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{\ell }}{\mathrm {d} x^{\ell }}}\left(x^{2}-1\right)^{\ell }

{\ displaystyle P _ {\ ell} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {\ ell} \, \ ell!}} \, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {\ ell}} {\ mathrm {d} x ^ {\ ell}}} \ venstre (x ^ {2} -1 \ høyre) ^ {\ ell}}

P _ {\ ell} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {\ ell} \, \ ell!}} \, {\ Frac {{\ mathrm {d}} ^ {\ ell}} { {\ mathrm {d}} x ^ {\ ell}}} \ venstre (x ^ {2} -1 \ høyre) ^ {\ ell}

.

Dette resulterer i

P_{\ell }^{(m)}(x)={\frac {(-1)^{m}}{2^{\ell }\,\ell !}}\left(1-x^{2}\right)^{m/2}{\frac {\mathrm {d} ^{\ell +m}}{\mathrm {d} x^{\ell +m}}}\left(x^{2}-1\right)^{\ell }.

{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {(m)} (x) = {\ frac {(-1) ^ {m}} {2 ^ {\ ell} \, \ ell!}} \ venstre (1 - x ^ {2} \ høyre) ^ {m / 2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {\ ell + m}} {\ mathrm {d} x ^ {\ ell + m}}} \ venstre (x ^ {2} -1 \ høyre) ^ {\ ell}.}

P _ {\ ell} ^ {{(m)}} (x) = {\ frac {(-1) ^ {m}} {2 ^ {\ ell} \, \ ell!}} \ Venstre (1- x ^ {2} \ høyre) ^ {{m / 2}} {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {{\ ell + m}}} ​​{{\ mathrm {d}} x ^ { {\ ell + m}}}} \ venstre (x ^ {2} -1 \ høyre) ^ {\ ell}.

Forbindelse med Legendre -polynomer

Den generaliserte Legendre -ligningen gjelder $m=0$ ${\ displaystyle m = 0}$ $m = 0$ inn i Legendre -ligningen, slik at $P_{\ell }^{(0)}(x)=P_{\ell }(x)$ ${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {(0)} (x) = P _ {\ ell} (x)}$ $P _ {\ ell} ^ {{(0)}} (x) = P _ {{\ ell}} (x)$ gjelder.

Ortogonalitet

For de tildelte Legendre -polynomene gjelder i intervallet $I=[-1,1]$ ${\ displaystyle I = [- 1,1]}$ $I = [-1.1]$ to ortogonalitetsforhold:

\int \limits _{-1}^{+1}P_{\ell }^{(m)}(x)\,P_{k}^{(m)}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {2}{2\,\ell +1}}\,{\frac {(\ell +m)!}{(\ell -m)!}}\,\delta _{\ell k}.

{\ displaystyle \ int \ limit _ {- 1} ^ {+ 1} P _ {\ ell} ^ {(m)} (x) \, P_ {k} ^ {(m)} (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {2} {2 \, \ ell +1}} \, {\ frac {(\ ell + m)!} {(\ ell -m)!}} \, \ delta _ {\ ell k}.}

\ int \ limit _ {{- 1}} ^ {{+ 1}} P _ {\ ell} ^ {{((m)}} (x) \, P_ {k} ^ {{(m)}} (x) \, {\ mathrm {d}} x = {\ frac {2} {2 \, \ ell +1}} \, {\ frac {(\ ell + m)!} {(\ ell -m )!}} \, \ delta _ {{\ ell k}}.

\int \limits _{-1}^{+1}P_{\ell }^{(m)}(x)\,P_{\ell }^{(n)}(x)\cdot {\frac {1}{1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}\,\delta _{mn}.

{\ displaystyle \ int \ limit _ {- 1} ^ {+ 1} P _ {\ ell} ^ {(m)} (x) \, P _ {\ ell} ^ {(n)} (x) \ cdot {\ frac {1} {1 -x ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {(\ ell + m)!} {m (\ ell -m)!}} \ , \ delta _ {mn}.}

\ int \ limit _ {{- 1}} ^ {{+ 1}} P _ {\ ell} ^ {{(m)}} (x) \, P _ {\ ell} ^ {{(n)} } (x) \ cdot {\ frac {1} {1-x ^ {2}}} \, {\ mathrm {d}} x = {\ frac {(\ ell + m)!} {m (\ ell -m)!}} \, \ delta _ {{mn}}.

Den andre integralen er bare definert hvis enten $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ eller $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ er ikke lik 0.

Tilkobling til enhetens sfære

Det viktigste er saken $x=\cos \vartheta$ ${\ displaystyle x = \ cos \ vartheta}$ $x = \ cos \ vartheta$ . Den tilhørende Legendre -ligningen leser deretter

{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \vartheta }}+\left[\ell \,(\ell +1)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\vartheta }}\right]y=0.

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} \ vartheta ^ {2}}} + {\ frac {\ cos \ vartheta} {\ sin \ vartheta}} \ , {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} \ vartheta}} + \ venstre [\ ell \, (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ vartheta}} \ høyre] y = 0.}

{\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {2} y} {{\ mathrm {d}} \ vartheta ^ {2}}} + {\ frac {\ cos \ vartheta} {\ sin \ vartheta}} \, {\ frac {{\ mathrm {d}} y} {{\ mathrm {d}} \ vartheta}} + \ venstre [\ ell \, (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2 }} {\ sin ^ {2} \ vartheta}} \ høyre] y = 0.

Fordi i henhold til substitusjonsregelen

\int _{0}^{\pi }f(\cos \vartheta )\sin \vartheta \,\mathrm {d} \vartheta =\int _{-1}^{1}f(x)\mathrm {d} x

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} f (\ cos \ vartheta) \ sin \ vartheta \, \ mathrm {d} \ vartheta = \ int _ {- 1} ^ {1} f (x) \ mathrm {d} x}

\ int _ {0} ^ {\ pi} f (\ cos \ vartheta) \ sin \ vartheta \, {\ mathrm {d}} \ vartheta = \ int _ {{- 1}} ^ {1} f (x ) {\ mathrm {d}} x

holder, blir de ovennevnte ortogonalitetsrelasjonene lett overført til enhetssfæren.

ovenfor $P_{\ell }^{(m)}(\cos \vartheta )$ ${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {(m)} (\ cos \ vartheta)}$ $P _ {\ ell} ^ {{(m)}} (\ cos \ vartheta)$ de såkalte sfæriske overflatefunksjonene er definert som

Y_{\ell }^{(m)}(\varphi ,\vartheta )={\sqrt {{\frac {2\,\ell +1}{4\,\pi }}\,{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{(m)}(\cos \vartheta )\,\mathrm {e} ^{i\,m\,\varphi },

{\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {(m)} (\ varphi, \ vartheta) = {\ sqrt {{\ frac {2 \, \ ell +1} {4 \, \ pi}} \, { \ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}}}} \, P _ {\ ell} ^ {(m)} (\ cos \ vartheta) \, \ mathrm {e} ^ {i \, m \, \ varphi},}

Y _ {\ ell} ^ {{(m)}} (\ varphi, \ vartheta) = {\ sqrt {{\ frac {2 \, \ ell +1} {4 \, \ pi}} \, {\ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}}}} \, P _ {\ ell} ^ {{(m)}} (\ cos \ vartheta) \, {\ mathrm { e}} ^ {{i \, m \, \ varphi}},

som danner et komplett ortonormalt system på enhetssfæren.

De første tildelte Legendre -polynomene

Følgende rekursjonsformel gjelder for de tildelte Legendre -polynomene

(\ell -m)\,P_{\ell }^{(m)}(x)=x\,(2\,\ell -1)\,P_{\ell -1}^{(m)}(x)-(\ell +m-1)\,P_{\ell -2}^{(m)}(x).

{\ displaystyle (\ ell -m) \, P _ {\ ell} ^ {(m)} (x) = x \, (2 \, \ ell -1) \, P _ {\ ell -1} ^ {(m)} (x) -(\ ell + m -1) \, P _ {\ ell -2} ^ {(m)} (x).}

(\ ell -m) \, P _ {\ ell} ^ {{(m)}} (x) = x \, (2 \, \ ell -1) \, P _ {{\ ell -1}} ^ {{(m)}} (x) -(\ ell + m -1) \, P _ {{\ ell -2}} ^ {{(m)}} (x).

De tilhørende startverdiene for rekursjonsformelen vises som følger:

P_{m}^{(m)}(x)=(-1)^{m}\cdot {\frac {(2m)!}{2^{m}m!}}\cdot \left(1-x^{2}\right)^{m/2}\quad ,\quad P_{k}^{m}(x)=0\;,\quad \forall k<m

{\ displaystyle P_ {m} ^ {(m)} (x) = (- 1) ^ {m} \ cdot {\ frac {(2m)!} {2 ^ {m} m!}} \ cdot \ venstre (1-x ^ {2} \ høyre) ^ {m / 2} \ quad, \ quad P_ {k} ^ {m} (x) = 0 \ ;, \ quad \ forall k <m}

Forholdet mellom de tilhørende Legendre -polynomene med positivt og negativt $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Er som følgende.

P_{\ell }^{(-m)}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\cdot P_{\ell }^{(m)}

{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {(- m)} = (- 1) ^ {m} {\ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}} \ cdot P_ {\ ell} ^ {(m)}}

{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {(- m)} = (- 1) ^ {m} {\ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}} \ cdot P_ {\ ell} ^ {(m)}}

De første Legendre -polynomene er dermed bestemt


$P_{\ell }^{(m)}(x)$ ${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {(m)} (x)}$ $P _ {\ ell} ^ {{(m)}} (x)$	$\ell =0$ ${\ displaystyle \ ell = 0}$ ${\ displaystyle \ ell = 0}$	$\ell =1$ ${\ displaystyle \ ell = 1}$ ${\ displaystyle \ ell = 1}$	$\ell =2$ ${\ displaystyle \ ell = 2}$ ${\ displaystyle \ ell = 2}$
$m=-2$ ${\ displaystyle m = -2}$ ${\ displaystyle m = -2}$			$1/8(1-x^{2})$ ${\ displaystyle 1/8 (1-x ^ {2})}$ ${\ displaystyle 1/8 (1-x ^ {2})}$
$m=-1$ ${\ displaystyle m = -1}$ $m = -1$		$1/2{\sqrt {1-x^{2}}}$ ${\ displaystyle 1/2 {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle 1/2 {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$	$1/2x{\sqrt {1-x^{2}}}$ ${\ displaystyle 1 / 2x {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle 1 / 2x {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$
$m=0$ ${\ displaystyle m = 0}$ $m = 0$	$1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$	$x$ ${\ displaystyle x}$ $x$	$1/2(3x^{2}-1)$ ${\ displaystyle 1/2 (3x ^ {2} -1)}$ ${\ displaystyle 1/2 (3x ^ {2} -1)}$
$m=1$ ${\ displaystyle m = 1}$ $m = 1$		$-{\sqrt {1-x^{2}}}$ ${\ displaystyle - {\ sqrt {1 -x ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle - {\ sqrt {1 -x ^ {2}}}}$	$-3x{\sqrt {1-x^{2}}}$ ${\ displaystyle -3x {\ sqrt {1 -x ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle -3x {\ sqrt {1 -x ^ {2}}}}$
$m=2$ ${\ displaystyle m = 2}$ $m = 2$			$3(1-x^{2})$ ${\ displaystyle 3 (1-x ^ {2})}$ ${\ displaystyle 3 (1-x ^ {2})}$

Og med $\cos \vartheta$ ${\ displaystyle \ cos \ vartheta}$ $\ cos \ vartheta$ som et argument


$P_{\ell }^{(m)}(\cos \vartheta )$ ${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {(m)} (\ cos \ vartheta)}$ ${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {(m)} (\ cos \ vartheta)}$	$\ell =0$ ${\ displaystyle \ ell = 0}$ ${\ displaystyle \ ell = 0}$	$\ell =1$ ${\ displaystyle \ ell = 1}$ ${\ displaystyle \ ell = 1}$	$\ell =2$ ${\ displaystyle \ ell = 2}$ ${\ displaystyle \ ell = 2}$
$m=-2$ ${\ displaystyle m = -2}$ ${\ displaystyle m = -2}$			$1/8\sin ^{2}\vartheta$ ${\ displaystyle 1/8 \ sin ^ {2} \ vartheta}$ ${\ displaystyle 1/8 \ sin ^ {2} \ vartheta}$
$m=-1$ ${\ displaystyle m = -1}$ $m = -1$		$1/2\sin \vartheta$ ${\ displaystyle 1/2 \ sin \ vartheta}$ ${\ displaystyle 1/2 \ sin \ vartheta}$	$1/2\sin \vartheta \cos \vartheta$ ${\ displaystyle 1/2 \ sin \ vartheta \ cos \ vartheta}$ ${\ displaystyle 1/2 \ sin \ vartheta \ cos \ vartheta}$
$m=0$ ${\ displaystyle m = 0}$ $m = 0$	$1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$	$\cos \vartheta$ ${\ displaystyle \ cos \ vartheta}$ $\ cos \ vartheta$	$1/2(3\cos ^{2}\vartheta -1)$ ${\ displaystyle 1/2 (3 \ cos ^ {2} \ vartheta -1)}$ ${\ displaystyle 1/2 (3 \ cos ^ {2} \ vartheta -1)}$
$m=1$ ${\ displaystyle m = 1}$ $m = 1$		$-\sin \vartheta$ ${\ displaystyle - \ sin \ vartheta}$ ${\ displaystyle - \ sin \ vartheta}$	$-3\sin \vartheta \cos \vartheta$ ${\ displaystyle -3 \ sin \ vartheta \ cos \ vartheta}$ ${\ displaystyle -3 \ sin \ vartheta \ cos \ vartheta}$
$m=2$ ${\ displaystyle m = 2}$ $m = 2$			$3\sin ^{2}\vartheta$ ${\ displaystyle 3 \ sin ^ {2} \ vartheta}$ ${\ displaystyle 3 \ sin ^ {2} \ vartheta}$

Tilordnede Legendre -funksjoner av 2. slag

I likhet med Legendre -ligningen, de tildelte Legendre -polynomene $P_{\ell }^{(m)}(x)$ ${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {(m)} (x)}$ $P _ {\ ell} ^ {{(m)}} (x)$ representerer bare en gruppe løsningsfunksjoner i den generaliserte Legendre -ligningen De tildelte Legendre -funksjonene av den andre typen $Q_{\ell }^{(m)}(x)$ ${\ displaystyle Q _ {\ ell} ^ {(m)} (x)}$ $Q _ {\ ell} ^ {{(m)}} (x)$ representerer også løsninger. Dette gjelder også dem $Q_{\ell }^{(0)}=Q_{\ell }$ ${\ displaystyle Q _ {\ ell} ^ {(0)} = Q _ {\ ell}}$ $Q _ {\ ell} ^ {{(0)}} = Q _ {\ ell}$ med Legendre -funksjonene av 2. slag $Q_{\ell }(x)$ ${\ displaystyle Q _ {\ ell} (x)}$ $Q _ {\ ell} (x)$ .

weblenker

Legendre fungerer i NIST Digital Library of Mathematical Functions
Eric W. Weisstein : Associated Legendre Polynomial . I: MathWorld (engelsk).

litteratur

Richard Courant , David Hilbert : Metoder for matematisk fysikk . 2 bind. Springer Verlag, 1968
Gerald Teschl : Matematiske metoder i kvantemekanikk; Med søknader til Schrödinger -operatører . American Mathematical Society, 2009 ( mat.univie.ac.at )