polynom

Et polynom summerer multipler av krefter til en variabel eller ubestemt :

P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb +a_{n}x^{n},\quad n\geq 0

{\ displaystyle P (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ dotsb + a_ {n} x ^ {n}, \ quad n \ geq 0}

{\ displaystyle P (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ dotsb + a_ {n} x ^ {n}, \ quad n \ geq 0}

eller kort med sumsymbolet :

P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},\quad n\geq 0

{\ displaystyle P (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i}, \ quad n \ geq 0}

{\ displaystyle P (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i}, \ quad n \ geq 0}

Det er $\textstyle \sum$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sum}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sum}$ sumsymbolet, tallene $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $a_ {i}$ er koeffisientene (for eksempel reelle tall eller, mer generelt, elementer fra en hvilken som helst ring ) og $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ er på ubestemt tid.

Eksponenter for krefter er naturlige tall . Summen er også alltid begrenset . Uendelige summer av multipler av krefter med naturlige talleksponenter av et ubestemt kalles formelle kraftserier .

Det er noen viktige spesialpolynomer for matte og fysikk.

I elementær algebra er dette uttrykket identifisert med en funksjon i $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ (en polynomfunksjon ). I abstrakt algebra skilles det strengt mellom en polynomfunksjon og et polynom som et element i en polynomring . I skolematematikk blir en polynomfunksjon ofte referert til som en helt rasjonell funksjon .

Denne artikkelen forklarer også de matematiske begrepene: ledende koeffisient, normalisering av et polynom og absolutt begrep .

etymologi

Ordet polynom betyr noe sånt som "multi-named". Det kommer fra det greske πολύ polý "mye" og όνομα onoma "navn". Dette navnet går tilbake til Euklides elementer . I bok X nevner han en todelt sum $a+b$ ${\ displaystyle a + b}$ $a + b$ ἐκ δύο ὀνομάτων (ek dýo onomátōn): "bestående av to navn". Begrepet polynom går tilbake til Viëta : I Isagoge (1591) bruker han uttrykket polynomia magnitudo for en mengde med flere termer. ^[1]

Polynomer i elementær algebra

Graf over en 5. grads polynomfunksjon

I motsetning til abstrakt algebra forstås polynomer som funksjoner i elementær algebra. Derfor brukes begrepet polynomfunksjon i stedet for polynom i denne delen.

definisjon

I elementær algebra er en polynomfunksjon en funksjon $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ formen

P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb +a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n},\quad n\geq 0

{\ displaystyle P (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i} = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ dotsb + a_ {n-1} x ^ {n-1} + a_ {n} x ^ {n}, \ quad n \ geq 0}

P (x) = \ sum_ {i = 0} ^ n a_ix ^ i = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + \ dotsb + a_ {n-1} x ^ {n-1} + a_nx ^ n, \ quad n \ ge 0

,

hvor som domenet for den (uavhengige) variabelen $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ noen $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ - Algebra er et alternativ $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ er verdiområdet for koeffisientene (se nedenfor). Imidlertid er dette ofte settet med hele , reelle eller komplekse tall . de $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $a_ {i}$ kommer fra en ring $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , for eksempel et felt eller en restklassering , og kalles koeffisienter .

Alle eksponenter er naturlige tall .

Den høyeste eksponenten brukes som graden av polynomet $i\in \{0,\ldots ,n\}$ ${\ displaystyle i \ in \ {0, \ ldots, n \}}$ $i \ i \ {0, \ ldots, n \}$ betegner som koeffisienten $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $a_ {i}$ av monom $a_{i}x^{i}$ ${\ displaystyle a_ {i} x ^ {i}}$ ${\ displaystyle a_ {i} x ^ {i}}$ er ikke null. Denne koeffisienten er ledende koeffisient (også: ledende koeffisient). (Stavemåten $\deg f$ ${\ displaystyle \ deg f}$ ${\ displaystyle \ deg f}$ for graden av polynomet $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ er avledet fra det engelske uttrykket grad . Den tyskspråklige skrivemåten finnes ofte i tyskspråklig litteratur $\mathrm {grad} \,f$ ${\ displaystyle \ mathrm {grad} \, f}$ $\ mathrm {grad} \, f$ eller $\mathrm {Grad} \,f$ ${\ displaystyle \ mathrm {degree} \, f}$ $\ mathrm {degree} \, f$ .)
Settet med alle virkelige polynomfunksjoner av en hvilken som helst (men endelig) grad er et vektorrom som åpenbart ikke kan illustreres ved hjelp av geometriske ideer .
For nullpolynomet der alle $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $a_ {i}$ Er null, kalles graden $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ Er definert. ^[2]
Hvis den ledende koeffisienten er 1, kalles polynomet normalisert eller monisk .
Hvis koeffisientene er relativt prime , eller hvis innholdet er 1, kalles polynomet primitivt.

Koeffisienten $a_{0}$ ${\ displaystyle a_ {0}}$ $a_ {0}$ kalles et absolutt begrep. $a_{1}x$ ${\ displaystyle a_ {1} x}$ $a_1x$ kalles et lineært begrep , $a_{2}x^{2}$ ${\ displaystyle a_ {2} x ^ {2}}$ $a_2x ^ 2$ som et kvadratisk begrep og $a_{3}x^{3}$ ${\ displaystyle a_ {3} x ^ {3}}$ $a_3x ^ 3$ som en kubikk.

Enkelt eksempel

Gjennom

P(x):=9x^{3}+x^{2}+7x-3{,}8

{\ displaystyle P (x): = 9x ^ {3} + x ^ {2} + 7x-3 {,} 8}

{\ displaystyle P (x): = 9x ^ {3} + x ^ {2} + 7x-3 {,} 8}

en tredjegrads polynom er gitt (den høyeste forekommende eksponenten er 3). I dette eksemplet er 9 den ledende koeffisienten (som en faktor før den høyeste effekten av $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ ), er de andre koeffisientene: 1 ; 7 og -3.8 .

Betegnelse på spesielle polynomfunksjoner

Polynomer av grad

0 kalles konstante funksjoner (f.eks. $P(x)=-1$ ${\ displaystyle P (x) = - 1}$ ${\ displaystyle P (x) = - 1}$ ).
1 lineære funksjoner eller mer presist affine lineære funksjoner kalles (f.eks. $P(x)=3x+5$ ${\ displaystyle P (x) = 3x + 5}$ ${\ displaystyle P (x) = 3x + 5}$ ).
2 kalles kvadratiske funksjoner (f.eks. $P(x)=-3x^{2}-4x+1$ ${\ displaystyle P (x) = - 3x ^ {2} -4x + 1}$ ${\ displaystyle P (x) = - 3x ^ {2} -4x + 1}$ ).
3 kalles kubiske funksjoner (f.eks. $P(x)=4x^{3}-2x^{2}+7x+2$ ${\ displaystyle P (x) = 4x ^ {3} -2x ^ {2} + 7x + 2}$ ${\ displaystyle P (x) = 4x ^ {3} -2x ^ {2} + 7x + 2}$ ).
4 kalles kvartsfunksjoner (f.eks. $P(x)=6x^{4}-x^{3}+4x^{2}+2x+2$ ${\ displaystyle P (x) = 6x ^ {4} -x ^ {3} + 4x ^ {2} + 2x + 2}$ ${\ displaystyle P (x) = 6x ^ {4} -x ^ {3} + 4x ^ {2} + 2x + 2}$ ).

nullpunkt

Nullpunktene til en polynomfunksjon eller røttene eller løsningene til en polynomligning er verdiene til $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ som funksjonsverdien $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ er null, det vil si som er ligningen $P(x)=0$ ${\ displaystyle P (x) = 0}$ $P (x) = 0$ innfri. En polynomfunksjon over et legeme (eller mer generelt en integritetsring ) har alltid høyst like mange nuller som graden indikerer.

Videre sier grunnleggende teorem om algebra at en kompleks polynomfunksjon (dvs. en polynomfunksjon med komplekse koeffisienter) av grad $n\geq 1$ ${\ displaystyle n \ geq 1}$ $n \ geq 1$ har minst én kompleks null (ren eksistenssetning). Så er det akkurat $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Nuller ( polynom divisjon ), hvis nullene telles i henhold til deres mangfold . Dette er for eksempel null $x=2$ ${\ displaystyle x = 2}$ $x = 2$ polynomfunksjonen $(x-2)^{2}$ ${\ displaystyle (x-2) ^ {2}}$ $(x-2) ^ 2$ en dobbel . Som et resultat kan hver kompleks polynomfunksjon av positiv grad brytes ned til et produkt av lineære faktorer . Vanligvis kan man gå til hvilken som helst kropp $K$ ${\ displaystyle K}$ $K$ en algebraisk feltutvidelse $L.$ ${\ displaystyle L}$ $L.$ der alle polynomer av positiv grad med koeffisienter i $K$ ${\ displaystyle K}$ $K$ som polynom over $L.$ ${\ displaystyle L}$ $L.$ forfall til lineære faktorer. I dette tilfellet ringer man $L.$ ${\ displaystyle L}$ $L.$ den algebraiske nedleggelsen av $K$ ${\ displaystyle K}$ $K$ .

Nullpunktene til polynomer i første, andre, tredje og fjerde grad kan beregnes nøyaktig med formler (for eksempel med pq -formelen for kvadratiske ligninger), på den annen side kan polynomfunksjoner av høyere grad bare regnes nøyaktig i spesielle tilfeller ved hjelp av radikale symboler. Dette er uttalelsen til Abel-Ruffini-teoremet .

Polynomer i abstrakt algebra

definisjon

I abstrakt algebra er et polynom definert som et element i en polynomring $R[X]$ ${\ displaystyle R [X]}$ $R [X]$ . Dette er igjen forlengelsen av koeffisientringen $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ av et ubestemt, (algebraisk) fritt element $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Så det inneholder $R[X]$ ${\ displaystyle R [X]}$ $R [X]$ potensene $X^{n}$ ${\ displaystyle X ^ {n}}$ $X ^ {n}$ , $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in \ mathbb {N}$ og deres lineære kombinasjoner $\textstyle a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}X^{k}$ ${\ displaystyle \ textstyle a_ {0} + \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} X ^ {k}}$ ${\ displaystyle \ textstyle a_ {0} + \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} X ^ {k}}$ med $a_{k}\in R$ ${\ displaystyle a_ {k} \ i R}$ $a_k \ i R$ . Dette er alle elementene, det vil si at hvert polynom er unikt på grunn av sekvensen

(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n},0,0,\dots )\in R\times R\times R\times \dots

{\ displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, \ dots, a_ {n}, 0,0, \ dots) \ i R \ ganger R \ ganger R \ ganger \ prikker}

(a_0, a_1, \ dots, a_n, 0,0, \ dots) \ i R \ ganger R \ ganger R \ ganger \ prikker

preget av dens koeffisienter.

konstruksjon

Motsatt, en modell av polynomringen $R[X]$ ${\ displaystyle R [X]}$ $R [X]$ av settet med endelige sekvenser i $R\times R\times R\times \dots$ ${\ displaystyle R \ ganger R \ ganger R \ ganger \ prikker}$ $R \ ganger R \ ganger R \ ganger \ prikker$ bli konstruert. Dette gjøres på $R[X]$ ${\ displaystyle R [X]}$ $R [X]$ et tillegg " $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ "Som en term sum av sekvensene og en multiplikasjon" $\cdot$ ${\ displaystyle \ cdot}$ $\ cdot$ “Definert ved å brette episodene. Er slik $a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\ displaystyle a = (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N} _ {0}}}$ $a = (a_n) _ {n \ i \ N_0}$ og $b=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\ displaystyle b = (b_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N} _ {0}}}$ $b = (b_n) _ {n \ i \ N_0}$ , så er det

a+b:=(a_{n}+b_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}

{\ displaystyle a + b: = (a_ {n} + b_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N} _ {0}}}

a + b: = (a_n + b_n) _ {n \ i \ N_0}

og

a\cdot b:=\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}=\left(\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}},

{\ displaystyle a \ cdot b: = \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {ni} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N} _ {0}} = \ venstre (\ sum _ {i + j = n} a_ {i} b_ {j} \ høyre) _ {n \ i \ mathbb {N} _ {0}},}

a \ cdot b: = \ venstre (\ sum_ {i = 0} ^ {n} a_ib_ {ni} \ høyre) _ {n \ in \ N_0} = \ venstre (\ sum_ {i + j = n} a_ib_j \ til høyre) _ {n \ in \ N_0},

$R[X]$ ${\ displaystyle R [X]}$ $R [X]$ med disse koblingene er det nå selv en kommutativ ring, polynomringen (i en ubestemt) $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ .

Man identifiserer det ubestemte som en konsekvens $X:=(0,1,0,0,\dotsc )$ ${\ displaystyle X: = (0,1,0,0, \ dotsc)}$ $X: = (0,1,0,0, \ dotsc)$ , så det $X^{2}=X\cdot X=(0,0,1,0,0,\dotsc )$ ${\ displaystyle X ^ {2} = X \ cdot X = (0,0,1,0,0, \ dotsc)}$ $X ^ 2 = X \ cdot X = (0,0,1,0,0, \ dotsc)$ , $X^{3}=X^{2}\cdot X=(0,0,0,1,0,0,\dotsc )$ ${\ displaystyle X ^ {3} = X ^ {2} \ cdot X = (0,0,0,1,0,0, \ dotsc)}$ $X ^ 3 = X ^ 2 \ cdot X = (0,0,0,1,0,0, \ dotsc)$ etc., så kan en hvilken som helst episode $(a_{0},a_{1},a_{2},\dotsc )\in R[X]$ ${\ displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ dotsc) \ i R [X]}$ $(a_0, a_1, a_2, \ dotsc) \ i R [X]$ igjen i intuitiv forstand som et polynom kan representeres som

(a_{0},a_{1},a_{2},\dotsc )=a_{0}+a_{1}\cdot X+a_{2}\cdot X^{2}+\dotsb =a_{0}+\sum _{n\in \mathbb {N} _{>0}}a_{n}\cdot X^{n}.

{\ displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ dotsc) = a_ {0} + a_ {1} \ cdot X + a_ {2} \ cdot X ^ {2} + \ dotsb = a_ {0} + \ sum _ {n \ in \ mathbb {N} _ {> 0}} a_ {n} \ cdot X ^ {n}.}

(a_0, a_1, a_2, \ dotsc) = a_0 + a_1 \ cdot X + a_2 \ cdot X ^ 2 + \ dotsb = a_0 + \ sum_ {n \ in \ N _ {> 0}} a_n \ cdot X ^ n .

Forhold til den analytiske definisjonen

Hvis du nå tenker på at det ifølge forutsetningen er et naturlig tall $n\in \mathbb {N} _{0}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} _ {0}}$ $n \ i \ N_0$ eksisterer slik at $a_{i}=0$ ${\ displaystyle a_ {i} = 0}$ $a_ {i} = 0$ for alle $i>n$ ${\ displaystyle i> n}$ $i> n$ inneholder, i henhold til de ovennevnte hensynene, hvert polynom $f\in R[X]$ ${\ displaystyle f \ i R [X]}$ $f \ i R [X]$ unikt skrive over en kommutativ enhetsring som $f=a_{0}+a_{1}\cdot X+\dotsb +a_{n}\cdot X^{n}$ ${\ displaystyle f = a_ {0} + a_ {1} \ cdot X + \ dotsb + a_ {n} \ cdot X ^ {n}}$ $f = a_0 + a_1 \ cdot X + \ dotsb + a_n \ cdot X ^ n$ . Det er $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ imidlertid ikke en funksjon som i analyse eller elementær algebra, men en uendelig sekvens (et element i ringen $R[X]$ ${\ displaystyle R [X]}$ $R [X]$ ) og $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ er ikke en "ukjent", men konsekvensen $(0,1,0,0,\dotsc )$ ${\ displaystyle (0,1,0,0, \ dotsc)}$ $(0,1,0,0, \ dotsc)$ . Imidlertid kan en $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ bruk det som et "mønster" for deretter å danne en polynomfunksjon (dvs. et polynom i vanlig analytisk forstand). Til dette bruker man den såkalte innsettingshomomorfismen .

Det skal imidlertid bemerkes at forskjellige polynomer kan indusere den samme polynomfunksjonen. Er for eksempel $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ gjenværende klasse ring $\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} =\{{\bar {0}},{\bar {1}},{\bar {2}}\}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} = \ {{\ bar {0}}, {\ bar {1}}, {\ bar {2}} \}}$ $\ mathbb Z / 3 \ mathbb Z = \ {\ bar0, \ bar1, \ bar2 \}$ , så fremkall polynomene $f,g\in (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )[X]$ ${\ displaystyle f, g \ in (\ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z}) [X]}$ $f, g \ in (\ mathbb Z / 3 \ mathbb Z) [X]$

f=X(X-{\bar {1}})(X-{\bar {2}})=X^{3}-{\bar {3}}X^{2}+{\bar {2}}X=X^{3}-X

{\ displaystyle f = X (X - {\ bar {1}}) (X - {\ bar {2}}) = X ^ {3} - {\ bar {3}} X ^ {2} + {\ bar {2}} X = X ^ {3} -X}

f = X (X- \ bar1) (X- \ bar2) = X ^ 3- \ bar3X ^ 2 + \ bar2X = X ^ 3-X

og

nullpolynomet

g=0

{\ displaystyle g = 0}

g = 0

begge nullfiguren $0\in \operatorname {Abb} \left(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \right)$ ${\ displaystyle 0 \ in \ operatorname {Fig} \ left (\ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z}, \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} \ right)}$ $0 \ in \ operatorname {Fig} \ left (\ mathbb Z / 3 \ mathbb Z, \ mathbb Z / 3 \ mathbb Z \ right)$ , Det betyr: $f(x)=g(x)={\bar {0}}=0(x)$ ${\ displaystyle f (x) = g (x) = {\ bar {0}} = 0 (x)}$ $f (x) = g (x) = \ bar 0 = 0 (x)$ for alle $x\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} .$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z}.}$ $x \ in \ mathbb Z / 3 \ mathbb Z.$

For polynom over reelle eller hele tall eller generelt en uendelig integritetsring , bestemmes imidlertid et polynom av den induserte polynomfunksjonen.

Settet med polynomfunksjoner med verdier i $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ danner en ring ( underring av funksjonsringen ), som sjelden vurderes. Det er en naturlig ringhomomorfisme av $R[X]$ ${\ displaystyle R [X]}$ $R [X]$ inn i ringen av polynomfunksjoner, hvis kjerne er settet med polynomer som induserer nullfunksjonen.

Generaliseringer

Polynomer i flere ubestemte

Vanligvis forstår man hver sum av monomier i formen $a_{i_{1},\dotsc ,i_{n}}X_{1}^{i_{1}}\dotsm X_{n}^{i_{n}}$ ${\ displaystyle a_ {i_ {1}, \ dotsc, i_ {n}} X_ {1} ^ {i_ {1}} \ dotsm X_ {n} ^ {i_ {n}}}$ $a_ {i_1, \ dotsc, i_n} X_1 ^ {i_1} \ dotsm X_n ^ {i_n}$ som et polynom (i flere ubestemte):

P(X_{1},\dotsc ,X_{n})=\sum _{i_{1},\dotsc ,i_{n}}a_{i_{1},\dotsc ,i_{n}}X_{1}^{i_{1}}\dotsm X_{n}^{i_{n}}

{\ displaystyle P (X_ {1}, \ dotsc, X_ {n}) = \ sum _ {i_ {1}, \ dotsc, i_ {n}} a_ {i_ {1}, \ dotsc, i_ {n} } X_ {1} ^ {i_ {1}} \ dotsm X_ {n} ^ {i_ {n}}}

P (X_1, \ dotsc, X_n) = \ sum_ {i_1, \ dotsc, i_n} a_ {i_1, \ dotsc, i_n} X_1 ^ {i_1} \ dotsm X_n ^ {i_n}

Les: "Capital-p fra capital-x-1 til capital-xn (er) lik summen over alt i-1 opp til in fra ai-1-bis-in ganger kapital-x-1 til effekten av i -1 til kapital- xn høy i "

En monomisk orden gjør det mulig å arrangere monomialene i et slikt polynom og derved generalisere begreper som guidekoeffisient .

Størrelsen $i_{1}+\dotsb +i_{n}$ ${\ displaystyle i_ {1} + \ dotsb + i_ {n}}$ $i_1 + \ dotsb + i_n$ kalles den totale graden av et monomial $X_{1}^{i_{1}}\dotsm X_{n}^{i_{n}}$ ${\ displaystyle X_ {1} ^ {i_ {1}} \ dotsm X_ {n} ^ {i_ {n}}}$ $X_1 ^ {i_1} \ dotsm X_n ^ {i_n}$ . Hvis alle (ikke-forsvinnende) monomialer i et polynom har samme totale grad, sies det å være homogent . Den maksimale totale graden av alle ikke-forsvinnende monomialer er graden av polynomet.

Maksimalt antall mulige monomier av en viss grad ^[3] er

{\binom {n+k-1}{k}},

{\ displaystyle {\ binom {n + k-1} {k}},}

\ binom {n + k-1} {k},

Les: "n + k-1 over k" eller "k fra n + k-1"

der $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ antall forekommende ubestemte og $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ graden er. Et problem med kombinasjoner med repetisjon (erstatning) er klart vurdert her.

Legger til antall mulige monomier av graden $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ før $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , man oppnår for antall mulige monomier i et polynom av en viss grad :

{\binom {n+k}{k}}

{\ displaystyle {\ binom {n + k} {k}}}

\ binom {n + k} {k}

Les: "n + k over k" eller "k fra n + k"

Hvis alle ubestemte er "like" på en bestemt måte, kalles polynomet symmetrisk . Det som menes er: hvis polynomet ikke endres når de ubestemte byttes.

Polynomene i $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Ubestemt $X_{1},\dotsc ,X_{n}$ ${\ displaystyle X_ {1}, \ dotsc, X_ {n}}$ $X_1, \ dotsc, X_n$ over ringen $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ danne en polynomring, skrevet som $R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]$ ${\ displaystyle R [X_ {1}, \ dotsc, X_ {n}]}$ $R [X_1, \ dotsc, X_n]$ .

Formell kraftserie

Går til uendelige rader med skjema

f=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}

{\ displaystyle f = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} X ^ {i}}

f = \ sum_ {i = 0} ^ \ infty a_i X ^ i

Les: "f (er) lik summen av i lik null til uendelig ai (ganger) (stor) x til kraften til i"

over, man skaffer seg formelle kraftserier .

Laurent -polynomer og Laurent -serier

Hvis du også tillater negative eksponenter i et polynom, får du et Laurent -polynom . Tilsvarende den formelle kraftserien, kan formelle Laurent -serier også vurderes. Dette er formobjekter

f=\sum _{i=-N}^{\infty }a_{i}X^{i}.

{\ displaystyle f = \ sum _ {i = -N} ^ {\ infty} a_ {i} X ^ {i}.}

{\ displaystyle f = \ sum _ {i = -N} ^ {\ infty} a_ {i} X ^ {i}.}

Les: "f (er) lik summen av i lik minus (kapital) n til uendelig ai (ganger) (kapital) x til kraften til i"

Posynomiske funksjoner

Hvis du tillater flere variabler og noen virkelige krefter, får du begrepet posynomfunksjonen .

litteratur

Albrecht Beutelspacher: Lineær algebra. 8. utgave, ISBN 978-3-658-02413-0 , doi : 10.1007 / 978-3-658-02413-0
Michael Holz & Detlef Wille: Repetisjon av lineær algebra, del 2 , ISBN 978-3923923427
Gerd Fischer: Textbook of Algebra , ISBN 978-3-658-02221-1 , doi : 10.1007 / 978-3-658-02221-1

weblenker

Wiktionary: Polynom - forklaringer på betydninger, ordopprinnelse, synonymer, oversettelser

Java -applet for å beregne (også komplekse) nuller av polynom med maksimum 24. grad (i henhold til Newtons metode )

Individuelle bevis

↑ jf. Barth, Federle, Haller: Algebra 1. Ehrenwirth-Verlag, München 1980, s. 187, fotnote **, der forklaring av betegnelsen "binomial formel"
^ For nytten av denne innstillingen, se divisjon med resten .
^ Ernst Kunz: Introduksjon til algebraisk geometri. S. 213, Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1997, ISBN 3-528-07287-3 .

[1] . Barth, Federle, Haller: Algebra 1. Ehrenwirth-Verlag, München 1980, s. 187, fotnote **, der forklaring av betegnelsen "binomial formel"

[2] For nytten av denne innstillingen, se divisjon med resten .

[Kunz-3] Ernst Kunz: Introduksjon til algebraisk geometri. S. 213, Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1997, ISBN 3-528-07287-3 .

[1]

[2]

[3]