polynom

fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigasjon Hopp til søk

Et polynom summerer multipler av krefter til en variabel eller ubestemt :

eller kort med sumsymbolet :

Det er sumsymbolet, tallene er koeffisientene (for eksempel reelle tall eller, mer generelt, elementer fra en hvilken som helst ring ) og er på ubestemt tid.

Eksponenter for krefter er naturlige tall . Summen er også alltid begrenset . Uendelige summer av multipler av krefter med naturlige talleksponenter av et ubestemt kalles formelle kraftserier .

Det er noen viktige spesialpolynomer for matte og fysikk.

I elementær algebra er dette uttrykket identifisert med en funksjon i (en polynomfunksjon ). I abstrakt algebra skilles det strengt mellom en polynomfunksjon og et polynom som et element i en polynomring . I skolematematikk blir en polynomfunksjon ofte referert til som en helt rasjonell funksjon .

Denne artikkelen forklarer også de matematiske begrepene: ledende koeffisient, normalisering av et polynom og absolutt begrep .

etymologi

Ordet polynom betyr noe sånt som "multi-named". Det kommer fra det greske πολύ polý "mye" og όνομα onoma "navn". Dette navnet går tilbake til Euklides elementer . I bok X nevner han en todelt sum ἐκ δύο ὀνομάτων (ek dýo onomátōn): "bestående av to navn". Begrepet polynom går tilbake til Viëta : I Isagoge (1591) bruker han uttrykket polynomia magnitudo for en mengde med flere termer. [1]

Polynomer i elementær algebra

Graf over en 5. grads polynomfunksjon

I motsetning til abstrakt algebra forstås polynomer som funksjoner i elementær algebra. Derfor brukes begrepet polynomfunksjon i stedet for polynom i denne delen.

definisjon

I elementær algebra er en polynomfunksjon en funksjon formen

,

hvor som domenet for den (uavhengige) variabelen noen - Algebra er et alternativ er verdiområdet for koeffisientene (se nedenfor). Imidlertid er dette ofte settet med hele , reelle eller komplekse tall . de kommer fra en ring , for eksempel et felt eller en restklassering , og kalles koeffisienter .

  • Den høyeste eksponenten brukes som graden av polynomet betegner som koeffisienten av monom er ikke null. Denne koeffisienten er ledende koeffisient (også: ledende koeffisient). (Stavemåten for graden av polynomet er avledet fra det engelske uttrykket grad . Den tyskspråklige skrivemåten finnes ofte i tyskspråklig litteratur eller .)
  • Settet med alle virkelige polynomfunksjoner av en hvilken som helst (men endelig) grad er et vektorrom som åpenbart ikke kan illustreres ved hjelp av geometriske ideer .
  • For nullpolynomet der alle Er null, kalles graden Er definert. [2]
  • Hvis den ledende koeffisienten er 1, kalles polynomet normalisert eller monisk .
  • Hvis koeffisientene er relativt prime , eller hvis innholdet er 1, kalles polynomet primitivt.

Koeffisienten kalles et absolutt begrep. kalles et lineært begrep , som et kvadratisk begrep og som en kubikk.

Enkelt eksempel

Gjennom

en tredjegrads polynom er gitt (den høyeste forekommende eksponenten er 3). I dette eksemplet er 9 den ledende koeffisienten (som en faktor før den høyeste effekten av ), er de andre koeffisientene: 1 ; 7 og -3.8 .

Betegnelse på spesielle polynomfunksjoner

Polynomer av grad

  • 0 kalles konstante funksjoner (f.eks. ).
  • 1 lineære funksjoner eller mer presist affine lineære funksjoner kalles (f.eks. ).
  • 2 kalles kvadratiske funksjoner (f.eks. ).
  • 3 kalles kubiske funksjoner (f.eks. ).
  • 4 kalles kvartsfunksjoner (f.eks. ).

nullpunkt

Nullpunktene til en polynomfunksjon eller røttene eller løsningene til en polynomligning er verdiene til som funksjonsverdien er null, det vil si som er ligningen innfri. En polynomfunksjon over et legeme (eller mer generelt en integritetsring ) har alltid høyst like mange nuller som graden indikerer.

Videre sier grunnleggende teorem om algebra at en kompleks polynomfunksjon (dvs. en polynomfunksjon med komplekse koeffisienter) av grad har minst én kompleks null (ren eksistenssetning). Så er det akkurat Nuller ( polynom divisjon ), hvis nullene telles i henhold til deres mangfold . Dette er for eksempel null polynomfunksjonen en dobbel . Som et resultat kan hver kompleks polynomfunksjon av positiv grad brytes ned til et produkt av lineære faktorer . Vanligvis kan man gå til hvilken som helst kropp en algebraisk feltutvidelse der alle polynomer av positiv grad med koeffisienter i som polynom over forfall til lineære faktorer. I dette tilfellet ringer man den algebraiske nedleggelsen av .

Nullpunktene til polynomer i første, andre, tredje og fjerde grad kan beregnes nøyaktig med formler (for eksempel med pq -formelen for kvadratiske ligninger), på den annen side kan polynomfunksjoner av høyere grad bare regnes nøyaktig i spesielle tilfeller ved hjelp av radikale symboler. Dette er uttalelsen til Abel-Ruffini-teoremet .

Polynomer i abstrakt algebra

definisjon

I abstrakt algebra er et polynom definert som et element i en polynomring . Dette er igjen forlengelsen av koeffisientringen av et ubestemt, (algebraisk) fritt element . Så det inneholder potensene , og deres lineære kombinasjoner med . Dette er alle elementene, det vil si at hvert polynom er unikt på grunn av sekvensen

preget av dens koeffisienter.

konstruksjon

Motsatt, en modell av polynomringen av settet med endelige sekvenser i bli konstruert. Dette gjøres på et tillegg " "Som en term sum av sekvensene og en multiplikasjon" “Definert ved å brette episodene. Er slik og , så er det

og

med disse koblingene er det nå selv en kommutativ ring, polynomringen (i en ubestemt) .

Man identifiserer det ubestemte som en konsekvens , så det , etc., så kan en hvilken som helst episode igjen i intuitiv forstand som et polynom kan representeres som

Forhold til den analytiske definisjonen

Hvis du nå tenker på at det ifølge forutsetningen er et naturlig tall eksisterer slik at for alle inneholder, i henhold til de ovennevnte hensynene, hvert polynom unikt skrive over en kommutativ enhetsring som . Det er imidlertid ikke en funksjon som i analyse eller elementær algebra, men en uendelig sekvens (et element i ringen ) og er ikke en "ukjent", men konsekvensen . Imidlertid kan en bruk det som et "mønster" for deretter å danne en polynomfunksjon (dvs. et polynom i vanlig analytisk forstand). Til dette bruker man den såkalte innsettingshomomorfismen .

Det skal imidlertid bemerkes at forskjellige polynomer kan indusere den samme polynomfunksjonen. Er for eksempel gjenværende klasse ring , så fremkall polynomene

og

nullpolynomet

begge nullfiguren , Det betyr: for alle

For polynom over reelle eller hele tall eller generelt en uendelig integritetsring , bestemmes imidlertid et polynom av den induserte polynomfunksjonen.

Settet med polynomfunksjoner med verdier i danner en ring ( underring av funksjonsringen ), som sjelden vurderes. Det er en naturlig ringhomomorfisme av inn i ringen av polynomfunksjoner, hvis kjerne er settet med polynomer som induserer nullfunksjonen.

Generaliseringer

Polynomer i flere ubestemte

Vanligvis forstår man hver sum av monomier i formen som et polynom (i flere ubestemte):

Les: "Capital-p fra capital-x-1 til capital-xn (er) lik summen over alt i-1 opp til in fra ai-1-bis-in ganger kapital-x-1 til effekten av i -1 til kapital- xn høy i "

En monomisk orden gjør det mulig å arrangere monomialene i et slikt polynom og derved generalisere begreper som guidekoeffisient .

Størrelsen kalles den totale graden av et monomial . Hvis alle (ikke-forsvinnende) monomialer i et polynom har samme totale grad, sies det å være homogent . Den maksimale totale graden av alle ikke-forsvinnende monomialer er graden av polynomet.

Maksimalt antall mulige monomier av en viss grad [3] er

Les: "n + k-1 over k" eller "k fra n + k-1"

der antall forekommende ubestemte og graden er. Et problem med kombinasjoner med repetisjon (erstatning) er klart vurdert her.

Legger til antall mulige monomier av graden før , man oppnår for antall mulige monomier i et polynom av en viss grad :

Les: "n + k over k" eller "k fra n + k"

Hvis alle ubestemte er "like" på en bestemt måte, kalles polynomet symmetrisk . Det som menes er: hvis polynomet ikke endres når de ubestemte byttes.

Polynomene i Ubestemt over ringen danne en polynomring, skrevet som .

Formell kraftserie

Går til uendelige rader med skjema

Les: "f (er) lik summen av i lik null til uendelig ai (ganger) (stor) x til kraften til i"

over, man skaffer seg formelle kraftserier .

Laurent -polynomer og Laurent -serier

Hvis du også tillater negative eksponenter i et polynom, får du et Laurent -polynom . Tilsvarende den formelle kraftserien, kan formelle Laurent -serier også vurderes. Dette er formobjekter


Les: "f (er) lik summen av i lik minus (kapital) n til uendelig ai (ganger) (kapital) x til kraften til i"

Posynomiske funksjoner

Hvis du tillater flere variabler og noen virkelige krefter, får du begrepet posynomfunksjonen .

litteratur

weblenker

Wiktionary: Polynom - forklaringer på betydninger, ordopprinnelse, synonymer, oversettelser

Individuelle bevis

  1. jf. Barth, Federle, Haller: Algebra 1. Ehrenwirth-Verlag, München 1980, s. 187, fotnote **, der forklaring av betegnelsen "binomial formel"
  2. ^ For nytten av denne innstillingen, se divisjon med resten .
  3. ^ Ernst Kunz: Introduksjon til algebraisk geometri. S. 213, Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1997, ISBN 3-528-07287-3 .