Vinkelhastighet

Fysisk størrelse

Etternavn

Vinkelhastighet, rotasjonshastighet, rotasjonshastighet

Formelsymbol

{\vec {\omega }}

${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$ ${\ vec {\ omega}}$

Avledet fra

vinkel

Størrelse og System av enheter	enhet	dimensjon
SI	rad · s ⁻¹	T ⁻¹

I fysikk, er vinkelhastigheten en vektor mengde som angir hvor hurtig en vinkel endrer seg rundt en akse i løpet av tid . Formelsymbolet ditt er ${\vec {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$ ${\ vec {\ omega}}$ (liten omega ). SI -enheten for vinkelhastighet er ${\tfrac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {rad}} {\ mathrm {s}}}}$ ${\ tfrac {\ mathrm {rad}} {\ mathrm {s}}}$ . Den spiller spesielt en rolle i rotasjoner og blir da også referert til som rotasjonshastigheten eller rotasjonshastigheten . I mange tilfeller der retningen til rotasjonsaksen ikke endres i referansesystemet, er det tilstrekkelig å bruke skalaren som vektorens absolutte verdi.

Definisjoner

Vinkelhastighet

{\vec {\omega }}

{\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}

{\ vec {\ omega}}

og sporhastighet

{\vec {v}}

{\ displaystyle {\ vec {v}}}

{\ vec {v}}

sirkelbevegelsen

Vinkelhastigheten ${\vec {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$ ${\ vec {\ omega}}$ er representert av en pseudo- vektor som angir retningen til rotasjonsaksen og hastigheten på rotasjonsbevegelsen; den gjelder for hvert punkt i det roterende systemet, vektoren er ikke bare plassert i rotasjonsaksen. Retningen til pseudovektoren er orientert på en slik måte at den angir rotasjonsretningen i henhold til korketrekkeregelen . Størrelsen på vinkelhastigheten $\omega =\left|{\vec {\omega }}\right|$ ${\ displaystyle \ omega = \ venstre | {\ vec {\ omega}} \ høyre |}$ ${\ displaystyle \ omega = \ venstre | {\ vec {\ omega}} \ høyre |}$ er lik derivatet av rotasjonsvinkelen $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ etter tiden $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ :

\omega ={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}\;.

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi} {\ mathrm {d} t}} \;.}

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi} {\ mathrm {d} t}} \;.}

For en konstant vinkelhastighet gjelder derfor følgende

\omega ={\frac {2\pi }{T}}

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {2 \ pi} {T}}}

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {2 \ pi} {T}}}

,

fordi i rotasjonsperioden $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ blir vinkelen 2 $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ kjøre gjennom.

I tilfelle av en sirkulær bevegelse i plan, endres retningen til den nåværende banehastigheten til et punkt med samme vinkelhastighet som radiusvektoren til punktet. Når det gjelder en kurve som er buet i rommet, gjelder dette den nåværende krumningssirkelen. Endringen i retningen på banehastigheten kan derfor like gjerne brukes til å definere vinkelhastigheten. Den kommer direkte fra banens data og krever ikke bestemmelse av en rotasjonsakse.

Mengden $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ Vinkelhastigheten brukes mest i operasjoner der rotasjonsaksen ikke endres. En endring i retningen og / eller mengden av vinkelhastigheten er resultatet av en vinkelakselerasjon .

Sporhastighet

Hvert punkt i det roterende systemet beskriver en sirkulær bane, hvis plan er vinkelrett på rotasjonsaksen. Nettet eller sirkulasjonshastigheten ${\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ vec {v}}$ av punktet på denne sirkelen er i henhold til mengden

v=\omega \,r_{\perp }

{\ displaystyle v = \ omega \, r _ {\ perp}}

{\ displaystyle v = \ omega \, r _ {\ perp}}

,

der $r_{\perp }$ ${\ displaystyle r _ {\ perp}}$ ${\ displaystyle r _ {\ perp}}$ er radius for sirkelbevegelsen. Fordi på uendelig tid $\mathrm {d} t$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} t}$ $\ mathrm {d} t$ tilhører den uendelige måten $\mathrm {d} s=r_{\perp }\,\mathrm {d} \varphi =r_{\perp }\,\omega \,\mathrm {d} t$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} s = r _ {\ perp} \, \ mathrm {d} \ varphi = r _ {\ perp} \, \ omega \, \ mathrm {d} t}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} s = r _ {\ perp} \, \ mathrm {d} \ varphi = r _ {\ perp} \, \ omega \, \ mathrm {d} t}$ .

Er opprinnelsen $O$ ${\ displaystyle O}$ $O$ av koordinatsystemet på rotasjonsaksen, så er banehastigheten når det gjelder retning og mengde lik tverrproduktet av vinkelhastighet og posisjonsvektor:

{\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ vec {\ omega}} \ ganger {\ vec {r}}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ vec {\ omega}} \ ganger {\ vec {r}}}

,

fordi avstanden fra aksen er

r_{\perp }=r\,\mathrm {sin} \vartheta

{\ displaystyle r _ {\ perp} = r \, \ mathrm {sin} \ vartheta}

{\ displaystyle r _ {\ perp} = r \, \ mathrm {sin} \ vartheta}

med polarvinkelen $\vartheta$ ${\ displaystyle \ vartheta}$ $\ vartheta$ , som indikerer den konstante vinkelavstanden mellom rotasjonsaksen og posisjonsvektoren til det aktuelle punktet.

Denne vurderingen av endringshastigheten til posisjonsvektoren gjelder for hver vektor som er utsatt for rotasjon, f.eks. B. for basisvektorene ${\vec {e}}'_{i}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} '_ {i}}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} '_ {i}}$ ( $i\in \{x,y,z\}$ ${\ displaystyle i \ i \ {x, y, z \}}$ ${\ displaystyle i \ i \ {x, y, z \}}$ ) av et roterende referansesystem . Endringstakten er

{\frac {\mathrm {d} {\vec {e}}'_{i}}{\mathrm {d} t}}\,=\,{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}'_{i}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {e}} '_ {i}} {\ mathrm {d} t}} \, = \, {\ vec {\ omega}} \ times { \ vec {e}} '_ {i}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {e}} '_ {i}} {\ mathrm {d} t}} \, = \, {\ vec {\ omega}} \ times { \ vec {e}} '_ {i}}

.

Avgrensning til vinkelfrekvensen

Selv om vinkelfrekvensen og vinkelhastigheten med samme symbol $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ og selv om de måles i samme enhet, er de to forskjellige fysiske størrelser.

Vinkelhastigheten indikerer endringshastigheten til en geometrisk vinkel og brukes i forbindelse med roterende bevegelser.

Vinkelfrekvensen, derimot, er en abstrakt størrelse i sammenheng med vibrasjoner.^[1] En oscillasjon kan matematisk representeres av en roterende peker (se pekermodell ). Vinkelen på pekeren kalles fase- eller fasevinkelen. ^[2] Endringshastigheten til denne fasevinkelen er vinkelfrekvensen. Det er - som frekvensen - et mål på hvor raskt en svingning finner sted og - bortsett fra rotasjonen av den imaginære pekeren - ikke har noe å gjøre med en roterende bevegelse.

Vinkelhastigheten til siktlinjen

Bevegelse på nivå

Vinkelhastigheten til siktlinjen fra opprinnelsen O til partikkelen P bestemmes av tangenshastigheten til hastighetsvektoren v.

Hastighetsvektoren v av en partikkel P i forhold til en observatør O kan brytes ned til polare koordinater . Radialkomponenten i hastighetsvektoren endrer ikke retningen på siktlinjen . Forholdet mellom den tangensielle komponenten og vinkelhastigheten til siktlinjen er:

\mathrm {v} _{\perp }={\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}\,r=\omega \cdot r\;.

{\ displaystyle \ mathrm {v} _ {\ perp} = {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} t}} \, r = \ omega \ cdot r \;.}

{\ displaystyle \ mathrm {v} _ {\ perp} = {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} t}} \, r = \ omega \ cdot r \;.}

Det skal bemerkes at vinkelhastigheten til siktlinjen avhenger av den (vilkårlig) valgte plasseringen av observatøren.

Romlig bevegelse

I tre dimensjoner er vinkelhastigheten preget av størrelsen og retningen.

Som i det todimensjonale tilfellet har partikkelen en komponent av hastighetsvektoren i retningen til radiusvektoren og en annen vinkelrett på den. Flyet med støttevektoren ${\vec {0}}$ ${\ displaystyle {\ vec {0}}}$ $\ vec 0$ (Observatørsted) og retningsvektorer ${\vec {r}}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ ${\ vec {r}}$ og ${\vec {v}}_{\perp }$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ perp}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ perp}}$ definerer et rotasjonsplan der oppførselen til partikkelen vises et øyeblikk som i det todimensjonale tilfellet. Rotasjonsaksen er deretter vinkelrett på dette planet og definerer retningen til vektoren for den momentane vinkelhastigheten. Radius- og hastighetsvektorer antas å være kjent. Følgende gjelder da:

{\vec {\omega }}={\frac {{\vec {r}}\times {\vec {v}}}{|{\vec {r}}|^{2}}}\;.

{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = {\ frac {{\ vec {r}} \ ganger {\ vec {v}}} {| {\ vec {r}} | ^ {2}}} \ ;.}

{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = {\ frac {{\ vec {r}} \ ganger {\ vec {v}}} {| {\ vec {r}} | ^ {2}}} \ ;.}

Også her er vinkelhastigheten beregnet på denne måten avhengig av (vilkårlig) valgt plassering av observatøren. For eksempel i sylindriske koordinater (ρ, φ, z) med ${\vec {r}}={\begin{pmatrix}\rho \cos \varphi \\\rho \sin \varphi \\z\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ begin {pmatrix} \ rho \ cos \ varphi \\\ rho \ sin \ varphi \\ z \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ begin {pmatrix} \ rho \ cos \ varphi \\\ rho \ sin \ varphi \\ z \ end {pmatrix}}}$ og beregnet ut fra det ${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {r}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {r}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {r}}}$ :

({\rho }^{2}+z^{2}){\vec {\omega }}={\dot {\rho }}z{\hat {e}}_{\varphi }+{\dot {\varphi }}(-z\rho {\hat {e}}_{\rho }+\rho ^{2}{\hat {e}}_{z})-{\dot {z}}\rho {\hat {e}}_{\varphi }\;.

{\ displaystyle ({\ rho} ^ {2} + z ^ {2}) {\ vec {\ omega}} = {\ dot {\ rho}} z {\ hat {e}} _ {\ varphi} + {\ dot {\ varphi}} ( - z \ rho {\ hat {e}} _ {\ rho} + \ rho ^ {2} {\ hat {e}} _ {z}) - {\ dot {z }} \ rho {\ hat {e}} _ {\ varphi} \;.}

{\ displaystyle ({\ rho} ^ {2} + z ^ {2}) {\ vec {\ omega}} = {\ dot {\ rho}} z {\ hat {e}} _ {\ varphi} + {\ dot {\ varphi}} ( - z \ rho {\ hat {e}} _ {\ rho} + \ rho ^ {2} {\ hat {e}} _ {z}) - {\ dot {z }} \ rho {\ hat {e}} _ {\ varphi} \;.}

Er det ${\hat {e}}_{\rho },{\hat {e}}_{\varphi },{\hat {e}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {\ rho}, {\ hat {e}} _ {\ varphi}, {\ hat {e}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {\ rho}, {\ hat {e}} _ {\ varphi}, {\ hat {e}} _ {z}}$ basisvektorene til sylindriske koordinater .

I sfæriske koordinater (r, θ, φ) følger det analogt ${\vec {\omega }}=-{\dot {\varphi }}\sin \theta {\hat {e}}_{\theta }+{\dot {\theta }}{\hat {e}}_{\varphi }\;.$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = - {\ dot {\ varphi}} \ sin \ theta {\ hat {e}} _ {\ theta} + {\ dot {\ theta}} {\ hat { e}} _ {\ varphi} \;.}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = - {\ dot {\ varphi}} \ sin \ theta {\ hat {e}} _ {\ theta} + {\ dot {\ theta}} {\ hat { e}} _ {\ varphi} \;.}$ .

En applikasjon er den relative bevegelsen av objekter i astronomi (se riktig bevegelse (astronomi) ).

Vinkelhastighet med spesielle tilnærminger til bevegelse

Når du roterer legemer, kan vinkler brukes til å parameterisere bevegelsen. Et utvalg av ofte brukte tilnærminger er beskrevet nedenfor.

Euler-vinkler i z-y'-x '' -konvensjonen

Rotasjon av posisjonsvinkelen fra jordens faste koordinatsystem ( engelsk verdensramme , indeks g) til fastlegemets koordinatsystem ( engelsk kroppsramme , indeks f)

I kjøretøy eller flykonstruksjon er orienteringen til systemet som er festet til kjøretøyet i forhold til det faste systemet gitt i Euler -vinkler . Tre påfølgende rotasjoner er standardiserte. Først rundt z-aksen til system g (gjevvinkel), deretter rundt y-aksen til det roterte systemet (stigningsvinkel) og til slutt rundt x-aksen til det kroppsfikserte koordinatsystemet (rull / rull-vinkel).

Vinkelhastigheten til systemet festet til kroppen skyldes vinkelhastighetene rundt disse aksene.

{\vec {\omega }}={\dot {\psi }}{\vec {\mathbf {u} }}_{1}+{\dot {\theta }}{\vec {\mathbf {u} }}_{2}+{\dot {\phi }}{\vec {\mathbf {u} }}_{3}\;.

{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = {\ dot {\ psi}} {\ vec {\ mathbf {u}}} _ {1} + {\ dot {\ theta}} {\ vec {\ mathbf {u}}} _ {2} + {\ dot {\ phi}} {\ vec {\ mathbf {u}}} _ {3} \;.}

{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = {\ dot {\ psi}} {\ vec {\ mathbf {u}}} _ {1} + {\ dot {\ theta}} {\ vec {\ mathbf {u}}} _ {2} + {\ dot {\ phi}} {\ vec {\ mathbf {u}}} _ {3} \;.}

Det ekstra punktet angir tidsderivatet. Dette grunnlaget er ikke ortonormalt. Enhetsvektorene kan imidlertid beregnes ved hjelp av elementære rotasjoner.

Euler-vinkler i z-x'-z '' -konvensjonen

Eulers basissystem (grønt) angir aksene som Euler -vinklene α, β og γ roterer rundt.

I standard x-konvensjon (z, x ', z' ') , se figur, rotasjon utføres først med vinkelen α rundt z-aksen fast i rommet, deretter med vinkelen β rundt x-aksen i sin posisjon i henhold til den første rotasjonen (x'-aksen, på bildet N-aksen) og til slutt med vinkelen γ rundt z-aksen i sin posisjon etter de to foregående rotasjonene (forkortelse z '', på bildet Z -akser).

Angi enhetsvektorene ${\hat {e}}_{x,y,z}$ ${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {x, y, z}}$ ${\ hat {e}} _ {{x, y, z}}$ det romfaste standardgrunnlaget (blått på bildet), så leser vinkelhastigheten i forhold til det romfaste grunnlaget

{\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&{\dot {\alpha }}{\hat {e}}_{z}+{\dot {\beta }}[\cos(\alpha ){\hat {e}}_{x}+\sin(\alpha ){\hat {e}}_{y}]+{\dot {\gamma }}[\sin(\alpha )\sin(\beta ){\hat {e}}_{x}-\cos(\alpha )\sin(\beta ){\hat {e}}_{y}+\cos(\beta ){\hat {e}}_{z}]\\=&[{\dot {\beta }}\cos(\alpha )+{\dot {\gamma }}\sin(\alpha )\sin(\beta )]{\hat {e}}_{x}+[{\dot {\beta }}\sin(\alpha )-{\dot {\gamma }}\cos(\alpha )\sin(\beta )]{\hat {e}}_{y}+[{\dot {\alpha }}+{\dot {\gamma }}\cos(\beta )]{\hat {e}}_{z}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {\ omega}} = & {\ dot {\ alpha}} {\ hat {e}} _ {z} + {\ dot {\ beta}} [\ cos (\ alpha) {\ hat {e}} _ {x} + \ sin (\ alpha) {\ hat {e}} _ {y}] + {\ dot {\ gamma}} [\ sin (\ alpha) \ sin (\ beta) {\ hat {e}} _ {x} - \ cos (\ alpha) \ sin (\ beta) {\ hat {e}} _ {y} + \ cos (\ beta) {\ hatt {e}} _ {z}] \\ = & [{\ dot {\ beta}} \ cos (\ alpha) + {\ dot {\ gamma}} \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta) ] {\ hat {e}} _ {x} + [{\ dot {\ beta}} \ sin (\ alpha) - {\ dot {\ gamma}} \ cos (\ alpha) \ sin (\ beta)] {\ hat {e}} _ {y} + [{\ dot {\ alpha}} + {\ dot {\ gamma}} \ cos (\ beta)] {\ hat {e}} _ {z}. \ slutt {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {\ omega}} = & {\ dot {\ alpha}} {\ hat {e}} _ {z} + {\ dot {\ beta}} [\ cos (\ alpha) {\ hat {e}} _ {x} + \ sin (\ alpha) {\ hat {e}} _ {y}] + {\ dot {\ gamma}} [\ sin (\ alpha) \ sin (\ beta) {\ hat {e}} _ {x} - \ cos (\ alpha) \ sin (\ beta) {\ hat {e}} _ {y} + \ cos (\ beta) {\ hatt {e}} _ {z}] \\ = & [{\ dot {\ beta}} \ cos (\ alpha) + {\ dot {\ gamma}} \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta) ] {\ hat {e}} _ {x} + [{\ dot {\ beta}} \ sin (\ alpha) - {\ dot {\ gamma}} \ cos (\ alpha) \ sin (\ beta)] {\ hat {e}} _ {y} + [{\ dot {\ alpha}} + {\ dot {\ gamma}} \ cos (\ beta)] {\ hat {e}} _ {z}. \ slutt {align}}}

I den bevegelige basen ${\hat {e}}_{X,Y,Z}$ ${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {X, Y, Z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {X, Y, Z}}$ (rødt på bildet) gir samme betydning:

{\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&{\dot {\alpha }}[\sin(\beta )\sin(\gamma ){\hat {e}}_{X}+\sin(\beta )\cos(\gamma ){\hat {e}}_{Y}+\cos(\beta ){\hat {e}}_{Z}]+{\dot {\beta }}[\cos(\gamma ){\hat {e}}_{X}-\sin(\gamma ){\hat {e}}_{Y}]+{\dot {\gamma }}{\hat {e}}_{Z}\\=&[{\dot {\alpha }}\sin(\beta )\sin(\gamma )+{\dot {\beta }}\cos(\gamma )]{\hat {e}}_{X}+[{\dot {\alpha }}\sin(\beta )\cos(\gamma )-{\dot {\beta }}\sin(\gamma )]{\hat {e}}_{Y}+[{\dot {\alpha }}\cos(\beta )+{\dot {\gamma }}]{\hat {e}}_{Z},\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {\ omega}} = & {\ dot {\ alpha}} [\ sin (\ beta) \ sin (\ gamma) {\ hat {e}} _ {X } + \ sin (\ beta) \ cos (\ gamma) {\ hat {e}} _ {Y} + \ cos (\ beta) {\ hat {e}} _ {Z}] + {\ punkt {\ beta}} [\ cos (\ gamma) {\ hat {e}} _ {X} - \ sin (\ gamma) {\ hat {e}} _ {Y}] + {\ dot {\ gamma}} { \ hat {e}} _ {Z} \\ = & [{\ dot {\ alpha}} \ sin (\ beta) \ sin (\ gamma) + {\ dot {\ beta}} \ cos (\ gamma) ] {\ hat {e}} _ {X} + [{\ dot {\ alpha}} \ sin (\ beta) \ cos (\ gamma) - {\ dot {\ beta}} \ sin (\ gamma)] {\ hat {e}} _ {Y} + [{\ dot {\ alpha}} \ cos (\ beta) + {\ dot {\ gamma}}] {\ hat {e}} _ {Z}, \ slutt {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {\ omega}} = & {\ dot {\ alpha}} [\ sin (\ beta) \ sin (\ gamma) {\ hat {e}} _ {X } + \ sin (\ beta) \ cos (\ gamma) {\ hat {e}} _ {Y} + \ cos (\ beta) {\ hat {e}} _ {Z}] + {\ punkt {\ beta}} [\ cos (\ gamma) {\ hat {e}} _ {X} - \ sin (\ gamma) {\ hat {e}} _ {Y}] + {\ dot {\ gamma}} { \ hat {e}} _ {Z} \\ = & [{\ dot {\ alpha}} \ sin (\ beta) \ sin (\ gamma) + {\ dot {\ beta}} \ cos (\ gamma) ] {\ hat {e}} _ {X} + [{\ dot {\ alpha}} \ sin (\ beta) \ cos (\ gamma) - {\ dot {\ beta}} \ sin (\ gamma)] {\ hat {e}} _ {Y} + [{\ dot {\ alpha}} \ cos (\ beta) + {\ dot {\ gamma}}] {\ hat {e}} _ {Z}, \ slutt {align}}}

se bevegelsesfunksjonen til den symmetriske toppen .

Sylindriske koordinater

I det sylindriske koordinatsystemet (ρ, φ, z) er basisvektorene

{\hat {e}}_{\rho }={\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{z}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.

{\ displaystyle {\ hat {e}} _ {\ rho} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi \\\ sin \ varphi \\ 0 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ hat {e} } _ {\ varphi} = {\ begin {pmatrix} - \ sin \ varphi \\\ cos \ varphi \\ 0 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ hat {e}} _ {z} = {\ begynn {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ hat {e}} _ {\ rho} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi \\\ sin \ varphi \\ 0 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ hat {e} } _ {\ varphi} = {\ begin {pmatrix} - \ sin \ varphi \\\ cos \ varphi \\ 0 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ hat {e}} _ {z} = {\ begynn {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}.}

Hvis vinkelen φ endres, oppstår vinkelhastigheten ${\vec {\omega }}={\dot {\varphi }}{\hat {e}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = {\ dot {\ varphi}} {\ hat {e}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = {\ dot {\ varphi}} {\ hat {e}} _ {z}}$ . Den brukes for eksempel til å beregne frekvensen av basisvektorene ${\dot {\hat {e}}}_{\rho }={\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{\rho }.$ ${\ displaystyle {\ dot {\ hat {e}}} _ {\ rho} = {\ vec {\ omega}} \ ganger {\ hat {e}} _ {\ rho}.}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ hat {e}}} _ {\ rho} = {\ vec {\ omega}} \ ganger {\ hat {e}} _ {\ rho}.}$

Dette er resultatet av Euler-vinklene i z-x'-z '' -konvensjonen med

α = φ og β = γ ≡ 0 eller
γ = φ og α = β ≡ 0.

Sfæriske koordinater

I sfæriske koordinater (r, φ, θ) er basisvektorene

{\hat {e}}_{r}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}},\qquad {\hat {e}}_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi \\\cos \theta \sin \varphi \\-\sin \theta \end{pmatrix}},\qquad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ hat {e}} _ {r} = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ varphi \\\ sin \ theta \ sin \ varphi \\\ cos \ theta \ end {pmatrix} }, \ qquad {\ hat {e}} _ {\ theta} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \ cos \ varphi \\\ cos \ theta \ sin \ varphi \\ - \ sin \ theta \ end {pmatrix}}, \ qquad {\ hat {e}} _ {\ varphi} = {\ begin {pmatrix} - \ sin \ varphi \\\ cos \ varphi \\ 0 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ hat {e}} _ {r} = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ varphi \\\ sin \ theta \ sin \ varphi \\\ cos \ theta \ end {pmatrix} }, \ qquad {\ hat {e}} _ {\ theta} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \ cos \ varphi \\\ cos \ theta \ sin \ varphi \\ - \ sin \ theta \ end {pmatrix}}, \ qquad {\ hat {e}} _ {\ varphi} = {\ begin {pmatrix} - \ sin \ varphi \\\ cos \ varphi \\ 0 \ end {pmatrix}}}

å bli brukt. Vinkelhastigheten oppstår når disse basisvektorene roteres sammen med variable vinkler φ og θ

{\vec {\omega }}={\begin{pmatrix}-{\dot {\theta }}\sin \varphi \\{\dot {\theta }}\cos \varphi \\{\dot {\varphi }}\end{pmatrix}}={\dot {\varphi }}\cos \theta {\hat {e}}_{r}-{\dot {\varphi }}\sin \theta {\hat {e}}_{\theta }+{\dot {\theta }}{\hat {e}}_{\varphi }.

{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = {\ begin {pmatrix} - {\ dot {\ theta}} \ sin \ varphi \\ {\ dot {\ theta}} \ cos \ varphi \\ {\ dot {\ varphi}} \ end {pmatrix}} = {\ dot {\ varphi}} \ cos \ theta {\ hat {e}} _ {r} - {\ dot {\ varphi}} \ sin \ theta {\ hatt {e}} _ {\ theta} + {\ dot {\ theta}} {\ hat {e}} _ {\ varphi}.}

{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = {\ begin {pmatrix} - {\ dot {\ theta}} \ sin \ varphi \\ {\ dot {\ theta}} \ cos \ varphi \\ {\ dot {\ varphi}} \ end {pmatrix}} = {\ dot {\ varphi}} \ cos \ theta {\ hat {e}} _ {r} - {\ dot {\ varphi}} \ sin \ theta {\ hatt {e}} _ {\ theta} + {\ dot {\ theta}} {\ hat {e}} _ {\ varphi}.}

Med den beregnes frekvensen av basisvektorene, for eksempel i henhold til ${\dot {\hat {e}}}_{\theta }={\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{\theta }.$ ${\ displaystyle {\ dot {\ hat {e}}} _ {\ theta} = {\ vec {\ omega}} \ ganger {\ hat {e}} _ {\ theta}.}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ hat {e}}} _ {\ theta} = {\ vec {\ omega}} \ ganger {\ hat {e}} _ {\ theta}.}$

Dette er resultatet av Euler-vinklene i z-x'-z '' -konvensjonen med α ≡ 0, β = φ og γ = θ samt den sykliske utvekslingen av koordinatretningene 123 _Euler → 312 _sfære .

Vinkelhastighetstensorer

Rotasjon av en vektor

{\vec {v}}

{\ displaystyle {\ vec {v}}}

{\ vec {v}}

rundt rotasjonsaksen

{\vec {n}}

{\ displaystyle {\ vec {n}}}

{\ vec {n}}

med vinkel

\alpha

{\ displaystyle \ alpha}

\ alfa

av en ortogonal tensor

\mathbf {Q}

{\ displaystyle \ mathbf {Q}}

\ mathbf {Q}

.

Definisjon av vinkelhastighets tensor

Tverrproduktet av vinkelhastigheten med posisjonsvektoren kan sees på som vektortransformasjonen av posisjonsvektoren av vinkelhastighetstensoren.

Fordi en ren rotasjon av vektorer er representert med ortogonale tensorer , det vil si ortogonale tilordninger av vektorer på vektorer: ${\vec {x}}=\mathbf {Q} \cdot {\vec {X}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} = \ mathbf {Q} \ cdot {\ vec {X}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} = \ mathbf {Q} \ cdot {\ vec {X}}}$ , se bildet. Her er Q den ortogonale tensoren med egenskapen $\mathbf {Q\cdot Q} ^{\top }=\mathbf {Q^{\top }\cdot Q} =\mathbf {1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Q \ cdot Q} ^ {\ top} = \ mathbf {Q ^ {\ top} \ cdot Q} = \ mathbf {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Q \ cdot Q} ^ {\ top} = \ mathbf {Q ^ {\ top} \ cdot Q} = \ mathbf {1}}$ ( 1 er enhetens tensor , overskriften T angir transposisjonen ) og ${\vec {x}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ vec {x}}$ er vektoren som den faste vektoren til ${\vec {X}}$ ${\ displaystyle {\ vec {X}}}$ ${\ vec X}$ er kartlagt. Tidsderivat gir:

{\dot {\vec {x}}}={\dot {\mathbf {Q} }}\cdot {\vec {X}}={\dot {\mathbf {Q} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }\cdot {\vec {x}}=:\mathbf {\Omega } \cdot {\vec {x}}\;.

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {x}}} = {\ dot {\ mathbf {Q}}} \ cdot {\ vec {X}} = {\ dot {\ mathbf {Q}}} \ cdot \ mathbf {Q} ^ {\ top} \ cdot {\ vec {x}} =: \ mathbf {\ Omega} \ cdot {\ vec {x}} \;.}

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {x}}} = {\ dot {\ mathbf {Q}}} \ cdot {\ vec {X}} = {\ dot {\ mathbf {Q}}} \ cdot \ mathbf {Q} ^ {\ top} \ cdot {\ vec {x}} =: \ mathbf {\ Omega} \ cdot {\ vec {x}} \;.}

Vinkelhastighets tensor Ω som forekommer her er skjevsymmetrisk ( Ω ^┬ = - Ω ) pga.

{\dot {\mathbf {1} }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {Q\cdot Q} ^{\top })={\dot {\mathbf {Q} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }+\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}^{\top }=\mathbf {\Omega +\Omega } ^{\top }=\mathbf {0} \,.

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {1}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (\ mathbf {Q \ cdot Q} ^ {\ top}) = {\ dot {\ mathbf {Q}}} \ cdot \ mathbf {Q} ^ {\ top} + \ mathbf {Q} \ cdot {\ dot {\ mathbf {Q}}} ^ {\ top} = \ mathbf {\ Omega + \ Omega} ^ {\ top} = \ mathbf {0} \,.}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {1}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (\ mathbf {Q \ cdot Q} ^ {\ top}) = {\ dot {\ mathbf {Q}}} \ cdot \ mathbf {Q} ^ {\ top} + \ mathbf {Q} \ cdot {\ dot {\ mathbf {Q}}} ^ {\ top} = \ mathbf {\ Omega + \ Omega} ^ {\ top} = \ mathbf {0} \,.}

Vinkelhastighets tensor og vinkelhastighet

Hver skjev symmetrisk tensor W har en dobbel vektor ${\vec {w}}$ ${\ displaystyle {\ vec {w}}}$ ${\ vec {w}}$ med eiendommen $\mathbf {W} \cdot {\vec {x}}={\vec {w}}\times {\vec {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {W} \ cdot {\ vec {x}} = {\ vec {w}} \ ganger {\ vec {x}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {W} \ cdot {\ vec {x}} = {\ vec {w}} \ ganger {\ vec {x}}}$ for alle ${\vec {x}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ vec {x}}$ . Når det gjelder vinkelhastighetstensoren, er denne dobbelvektoren vinkelhastigheten:

{\dot {\vec {x}}}=\mathbf {\Omega } \cdot {\vec {x}}={\vec {\omega }}\times {\vec {x}}\,.

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {x}}} = \ mathbf {\ Omega} \ cdot {\ vec {x}} = {\ vec {\ omega}} \ ganger {\ vec {x}} \, .}

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {x}}} = \ mathbf {\ Omega} \ cdot {\ vec {x}} = {\ vec {\ omega}} \ ganger {\ vec {x}} \, .}

Den dobbelte vektoren

{\vec {\omega }}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\Omega _{ij}{\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}

{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ Omega _ {ij} {\ hat {e}} _ {i} \ ganger {\ hat {e}} _ {j}}

{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ Omega _ {ij} {\ hat {e}} _ {i} \ ganger {\ hat {e}} _ {j}}

er den negative halvdelen av vektoren invarianten til tensoren og er som sådan en aksial vektor . Koordinatene Ω _{ij for} tensoren Ω tilhører standardgrunnlaget ${\hat {e}}_{1,2,3}.$ ${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {1,2,3}.}$ ${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {1,2,3}.}$

Motsatt kan vinkelhastighetstensoren hentes fra vinkelhastigheten:

{\begin{aligned}\mathbf {\Omega } =&{\vec {\omega }}\times \mathbf {1} :=\sum _{i=1}^{3}\omega _{i}{\hat {e}}_{i}\times \sum _{k=1}^{3}{\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{k}:=\sum _{i=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\omega _{i}({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{k})\otimes {\hat {e}}_{k}={\begin{pmatrix}0&-\omega _{3}&\omega _{2}\\\omega _{3}&0&-\omega _{1}\\-\omega _{2}&\omega _{1}&0\end{pmatrix}}\\\rightarrow \mathbf {\Omega } \cdot {\vec {x}}=&({\vec {\omega }}\times \mathbf {1} )\cdot {\vec {x}}:={\vec {\omega }}\times (\mathbf {1} \cdot {\vec {x}})={\vec {\omega }}\times {\vec {x}},\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {\ Omega} = & {\ vec {\ omega}} \ times \ mathbf {1}: = \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ omega _ { i} {\ hat {e}} _ {i} \ times \ sum _ {k = 1} ^ {3} {\ hat {e}} _ {k} \ otimes {\ hat {e}} _ {k }: = \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ sum _ {k = 1} ^ {3} \ omega _ {i} ({\ hat {e}} _ {i} \ ganger {\ hat {e}} _ {k}) \ otimes {\ hat {e}} _ {k} = {\ begin {pmatrix} 0 & - \ omega _ {3} & \ omega _ {2} \\\ omega _ {3} & 0 & - \ omega _ {1} \\ - \ omega _ {2} & \ omega _ {1} & 0 \ end {pmatrix}} \\\ høyre pil \ mathbf {\ Omega} \ cdot { \ vec {x}} = & ({\ vec {\ omega}} \ times \ mathbf {1}) \ cdot {\ vec {x}}: = {\ vec {\ omega}} \ times (\ mathbf { 1} \ cdot {\ vec {x}}) = {\ vec {\ omega}} \ ganger {\ vec {x}}, \ end {justert}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {\ Omega} = & {\ vec {\ omega}} \ times \ mathbf {1}: = \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ omega _ { i} {\ hat {e}} _ {i} \ times \ sum _ {k = 1} ^ {3} {\ hat {e}} _ {k} \ otimes {\ hat {e}} _ {k }: = \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ sum _ {k = 1} ^ {3} \ omega _ {i} ({\ hat {e}} _ {i} \ ganger {\ hat {e}} _ {k}) \ otimes {\ hat {e}} _ {k} = {\ begin {pmatrix} 0 & - \ omega _ {3} & \ omega _ {2} \\\ omega _ {3} & 0 & - \ omega _ {1} \\ - \ omega _ {2} & \ omega _ {1} & 0 \ end {pmatrix}} \\\ høyre pil \ mathbf {\ Omega} \ cdot { \ vec {x}} = & ({\ vec {\ omega}} \ times \ mathbf {1}) \ cdot {\ vec {x}}: = {\ vec {\ omega}} \ times (\ mathbf { 1} \ cdot {\ vec {x}}) = {\ vec {\ omega}} \ ganger {\ vec {x}}, \ end {justert}}}

se kryssproduktmatrise . Det aritmetiske symbolet " $\otimes$ ${\ displaystyle \ otimes}$ $\ otimes$ “Danner det dyadiske produktet .

Vinkelhastighets tensor for roterende vektorrombaser

Fra vektorer ${\vec {g}}_{1,2,3}$ ${\ displaystyle {\ vec {g}} _ {1,2,3}}$ ${\ vec {g}} _ {{1,2,3}}$ et vektorromsgrunnlag som utfører en stiv kroppsrotasjon, kan vinkelhastighetstensoren beregnes direkte.

Fordi tensoren $\mathbf {G} :=\sum _{i=1}^{3}{\vec {g}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {G}: = \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ vec {g}} _ {i} \ otimes {\ hat {e}} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {G}: = \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ vec {g}} _ {i} \ otimes {\ hat {e}} _ {i}}$ , der basisvektorene legges inn i kolonner, kan inverteres i henhold til forutsetningen:

|\mathbf {G} |={\begin{vmatrix}{\vec {g}}_{1}&{\vec {g}}_{2}&{\vec {g}}_{3}\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}{\hat {e}}_{1}&{\hat {e}}_{2}&{\hat {e}}_{3}\end{vmatrix}}\neq 0.

{\ displaystyle | \ mathbf {G} | = {\ begin {vmatrix} {\ vec {g}} _ {1} og {\ vec {g}} _ {2} og {\ vec {g}} _ { 3} \ end {vmatrix}} \ cdot {\ begin {vmatrix} {\ hat {e}} _ {1} og {\ hat {e}} _ {2} og {\ hat {e}} _ {3 } \ end {vmatrix}} \ neq 0.}

{\ displaystyle | \ mathbf {G} | = {\ begin {vmatrix} {\ vec {g}} _ {1} og {\ vec {g}} _ {2} og {\ vec {g}} _ { 3} \ end {vmatrix}} \ cdot {\ begin {vmatrix} {\ hat {e}} _ {1} og {\ hat {e}} _ {2} og {\ hat {e}} _ {3 } \ end {vmatrix}} \ neq 0.}

De vertikale linjene representerer determinanten , hvis ikke-forsvinnelse garanterer inverterbarhet. Når det gjelder en vanlig stiv kroppsrotasjon av basisvektorene, følger det:

{\dot {\vec {g}}}_{1,2,3}={\vec {\omega }}\times {\vec {g}}_{1,2,3}\quad \leftrightarrow \quad {\dot {\mathbf {G} }}={\vec {\omega }}\times \mathbf {G} =\mathbf {\Omega \cdot G} \quad \leftrightarrow \quad \mathbf {\Omega } ={\dot {\mathbf {G} }}\cdot \mathbf {G} ^{-1}\;.

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {g}}} _ {1,2,3} = {\ vec {\ omega}} \ ganger {\ vec {g}} _ {1,2,3} \ quad \ leftrightarrow \ quad {\ dot {\ mathbf {G}}} = {\ vec {\ omega}} \ times \ mathbf {G} = \ mathbf {\ Omega \ cdot G} \ quad \ leftrightarrow \ quad \ mathbf { \ Omega} = {\ dot {\ mathbf {G}}} \ cdot \ mathbf {G} ^ {- 1} \;.}

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {g}}} _ {1,2,3} = {\ vec {\ omega}} \ ganger {\ vec {g}} _ {1,2,3} \ quad \ leftrightarrow \ quad {\ dot {\ mathbf {G}}} = {\ vec {\ omega}} \ times \ mathbf {G} = \ mathbf {\ Omega \ cdot G} \ quad \ leftrightarrow \ quad \ mathbf { \ Omega} = {\ dot {\ mathbf {G}}} \ cdot \ mathbf {G} ^ {- 1} \;.}

Motsatt, hvis tidsderivatet til en tensor G, multiplisert med dens inverse G ⁻¹ , er skjev symmetrisk, kan kolonnevektorene til tensoren tolkes som et roterende grunnlag. I tilfelle at vektorene ${\vec {g}}_{1,2,3}$ ${\ displaystyle {\ vec {g}} _ {1,2,3}}$ ${\ vec {g}} _ {{1,2,3}}$ danner et ortonormalt grunnlag , tensoren G er ortogonal og forholdet allerede nevnte resultater $\mathbf {\Omega } ={\dot {\mathbf {G} }}\cdot \mathbf {G} ^{\top }.$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} = {\ dot {\ mathbf {G}}} \ cdot \ mathbf {G} ^ {\ top}.}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} = {\ dot {\ mathbf {G}}} \ cdot \ mathbf {G} ^ {\ top}.}$

Eksponentiell for vinkelhastighetstensoren

Hvis vinkelhastigheten er konstant, er vinkelhastighetens tensor også konstant. Så kan ${\dot {\mathbf {G} }}=\mathbf {\Omega \cdot G}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {G}}} = \ mathbf {\ Omega \ cdot G}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {G}}} = \ mathbf {\ Omega \ cdot G}}$ for en gitt startverdi G (t = 0) kan integreres over tid med resultatet:

\mathbf {G} (t)=\exp(\mathbf {\Omega } t)\cdot \mathbf {G} (t=0).

{\ displaystyle \ mathbf {G} (t) = \ exp (\ mathbf {\ Omega} t) \ cdot \ mathbf {G} (t = 0).}

{\ displaystyle \ mathbf {G} (t) = \ exp (\ mathbf {\ Omega} t) \ cdot \ mathbf {G} (t = 0).}

Fordi de fire første effektene til Ω beregnes ved hjelp av BAC-CAB-formelen

{\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&\omega {\hat {n}}\quad {\text{mit}}\quad |{\hat {n}}|=1\\\mathbf {\Omega } =&\omega {\hat {n}}\times \mathbf {1} =\omega n_{i}{\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{j}\\\mathbf {\Omega } ^{2}=&(\omega n_{i}{\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{j})\cdot (\omega n_{k}{\hat {e}}_{k}\times {\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{l})=\omega ^{2}n_{i}n_{k}{\hat {e}}_{i}\times ({\hat {e}}_{k}\times {\hat {e}}_{l})\otimes {\hat {e}}_{l}\\=&\omega ^{2}n_{i}n_{k}(\delta _{il}{\hat {e}}_{k}-\delta _{ik}{\hat {e}}_{l})\otimes {\hat {e}}_{l}=\omega ^{2}n_{k}{\hat {e}}_{k}\otimes n_{i}{\hat {e}}_{i}-\omega ^{2}n_{i}n_{i}{\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{l}=-\omega ^{2}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\\\mathbf {\Omega } ^{3}=&-\omega {\hat {n}}\times \mathbf {1} \cdot \omega ^{2}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})=-\omega ^{3}[{\hat {n}}\times \mathbf {1} \cdot \mathbf {1} -({\hat {n}}\times \mathbf {1} \cdot {\hat {n}})\otimes {\hat {n}}]=-\omega ^{3}{\hat {n}}\times \mathbf {1} \\\mathbf {\Omega } ^{4}=&\omega ^{2}({\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-\mathbf {1} )\cdot \omega ^{2}({\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-\mathbf {1} )=\omega ^{4}({\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-{\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-{\hat {n}}\otimes {\hat {n}}+\mathbf {1} )=\omega ^{4}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\;.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {\ omega}} = & \ omega {\ hat {n}} \ quad {\ text {with}} \ quad | {\ hat {n}} | = 1 \\\ mathbf {\ Omega} = & \ omega {\ hat {n}} \ times \ mathbf {1} = \ omega n_ {i} {\ hat {e}} _ {i} \ times {\ hat { e}} _ {j} \ otimes {\ hat {e}} _ {j} \\\ mathbf {\ Omega} ^ {2} = & (\ omega n_ {i} {\ hat {e}} _ { i} \ times {\ hat {e}} _ {j} \ otimes {\ hat {e}} _ {j}) \ cdot (\ omega n_ {k} {\ hat {e}} _ {k} \ ganger {\ hat {e}} _ {l} \ otimes {\ hat {e}} _ {l}) = \ omega ^ {2} n_ {i} n_ {k} {\ hat {e}} _ { i} \ times ({\ hat {e}} _ {k} \ times {\ hat {e}} _ {l}) \ otimes {\ hat {e}} _ {l} \\ = & \ omega ^ {2} n_ {i} n_ {k} (\ delta _ {il} {\ hat {e}} _ {k} - \ delta _ {ik} {\ hat {e}} _ {l}) \ otimes {\ hat {e}} _ {l} = \ omega ^ {2} n_ {k} {\ hat {e}} _ {k} \ otimes n_ {i} {\ hat {e}} _ {i} - \ omega ^ {2} n_ {i} n_ {i} {\ hat {e}} _ {l} \ otimes {\ hat {e}} _ {l} = - \ omega ^ {2} (\ mathbf {1} - {\ hat {n}} \ otimes {\ hat {n}}) \\\ mathbf {\ Omega} ^ {3} = & - \ omega {\ hat {n}} \ times \ mathbf { 1} \ cdot \ omega ^ {2} (\ mathbf {1} - {\ hat {n}} \ otimes {\ hat {n}}) = - \ omega ^ {3} [{\ hat {n}} \ times \ mathbf {1} \ cdot \ mathbf {1} - ({\ hat {n}} \ times \ mathbf {1} \ cd ot {\ hat {n}}) \ otimes {\ hat {n}}] = - \ omega ^ {3} {\ hat {n}} \ times \ mathbf {1} \\\ mathbf {\ Omega} ^ {4} = & \ omega ^ {2} ({\ hat {n}} \ otimes {\ hat {n}} - \ mathbf {1}) \ cdot \ omega ^ {2} ({\ hat {n} } \ otimes {\ hat {n}} - \ mathbf {1}) = \ omega ^ {4} ({\ hat {n}} \ otimes {\ hat {n}} - {\ hat {n}} \ otimes {\ hat {n}} - {\ hat {n}} \ otimes {\ hat {n}} + \ mathbf {1}) = \ omega ^ {4} (\ mathbf {1} - {\ hat { n}} \ otimes {\ hat {n}}) \ ;. \ ende {justert}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {\ omega}} = & \ omega {\ hat {n}} \ quad {\ text {with}} \ quad | {\ hat {n}} | = 1 \\\ mathbf {\ Omega} = & \ omega {\ hat {n}} \ times \ mathbf {1} = \ omega n_ {i} {\ hat {e}} _ {i} \ times {\ hat { e}} _ {j} \ otimes {\ hat {e}} _ {j} \\\ mathbf {\ Omega} ^ {2} = & (\ omega n_ {i} {\ hat {e}} _ { i} \ times {\ hat {e}} _ {j} \ otimes {\ hat {e}} _ {j}) \ cdot (\ omega n_ {k} {\ hat {e}} _ {k} \ ganger {\ hat {e}} _ {l} \ otimes {\ hat {e}} _ {l}) = \ omega ^ {2} n_ {i} n_ {k} {\ hat {e}} _ { i} \ times ({\ hat {e}} _ {k} \ times {\ hat {e}} _ {l}) \ otimes {\ hat {e}} _ {l} \\ = & \ omega ^ {2} n_ {i} n_ {k} (\ delta _ {il} {\ hat {e}} _ {k} - \ delta _ {ik} {\ hat {e}} _ {l}) \ otimes {\ hat {e}} _ {l} = \ omega ^ {2} n_ {k} {\ hat {e}} _ {k} \ otimes n_ {i} {\ hat {e}} _ {i} - \ omega ^ {2} n_ {i} n_ {i} {\ hat {e}} _ {l} \ otimes {\ hat {e}} _ {l} = - \ omega ^ {2} (\ mathbf {1} - {\ hat {n}} \ otimes {\ hat {n}}) \\\ mathbf {\ Omega} ^ {3} = & - \ omega {\ hat {n}} \ times \ mathbf { 1} \ cdot \ omega ^ {2} (\ mathbf {1} - {\ hat {n}} \ otimes {\ hat {n}}) = - \ omega ^ {3} [{\ hat {n}} \ times \ mathbf {1} \ cdot \ mathbf {1} - ({\ hat {n}} \ times \ mathbf {1} \ cd ot {\hat {n}})\otimes {\hat {n}}]=-\omega ^{3}{\hat {n}}\times \mathbf {1} \\\mathbf {\Omega } ^{4}=&\omega ^{2}({\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-\mathbf {1} )\cdot \omega ^{2}({\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-\mathbf {1} )=\omega ^{4}({\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-{\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-{\hat {n}}\otimes {\hat {n}}+\mathbf {1} )=\omega ^{4}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\;.\end{aligned}}}

Oben ist die Einsteinsche Summenkonvention anzuwenden, der zufolge über in einem Produkt doppelt vorkommende Indizes von eins bis drei zu summieren ist. Nach vollständiger Induktion ergeben sich die Potenzen

{\begin{aligned}\mathbf {\Omega } ^{2k}=&(-1)^{k}\omega ^{2k}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\\\mathbf {\Omega } ^{2k+1}=&(-1)^{k}\omega ^{2k+1}{\hat {n}}\times \mathbf {1} \end{aligned}}

{\begin{aligned}\mathbf {\Omega } ^{2k}=&(-1)^{k}\omega ^{2k}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\\\mathbf {\Omega } ^{2k+1}=&(-1)^{k}\omega ^{2k+1}{\hat {n}}\times \mathbf {1} \end{aligned}}

{\begin{aligned}\mathbf {\Omega } ^{2k}=&(-1)^{k}\omega ^{2k}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\\\mathbf {\Omega } ^{2k+1}=&(-1)^{k}\omega ^{2k+1}{\hat {n}}\times \mathbf {1} \end{aligned}}

für k = 1, 2, 3, … (keine Summen) Mit der Definition Ω ⁰ := 1 kann das Exponential exp des Winkelgeschwindigkeitstensors mit der Taylorreihe ermittelt werden:

{\begin{aligned}\exp(\mathbf {\Omega } t):=&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {\Omega } t)^{k}}{k!}}=\mathbf {1} +\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\mathbf {\Omega } t)^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {\Omega } t)^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\=&\mathbf {1} +\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(\omega t)^{2k}}{(2k)!}}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(\omega t)^{2k+1}}{(2k+1)!}}{\hat {n}}\times \mathbf {1} \\=&\mathbf {1} +[\cos(\omega t)-1](\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})+\sin(\omega t){\hat {n}}\times \mathbf {1} \;.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\exp(\mathbf {\Omega } t):=&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {\Omega } t)^{k}}{k!}}=\mathbf {1} +\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\mathbf {\Omega } t)^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {\Omega } t)^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\=&\mathbf {1} +\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(\omega t)^{2k}}{(2k)!}}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(\omega t)^{2k+1}}{(2k+1)!}}{\hat {n}}\times \mathbf {1} \\=&\mathbf {1} +[\cos(\omega t)-1](\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})+\sin(\omega t){\hat {n}}\times \mathbf {1} \;.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\exp(\mathbf {\Omega } t):=&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {\Omega } t)^{k}}{k!}}=\mathbf {1} +\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\mathbf {\Omega } t)^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {\Omega } t)^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\=&\mathbf {1} +\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(\omega t)^{2k}}{(2k)!}}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(\omega t)^{2k+1}}{(2k+1)!}}{\hat {n}}\times \mathbf {1} \\=&\mathbf {1} +[\cos(\omega t)-1](\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})+\sin(\omega t){\hat {n}}\times \mathbf {1} \;.\end{aligned}}

Die letzte Gleichung stellt einen orthogonalen Tensor dar. Wenn Ω nur als schiefsymmetrischer Tensor ohne das Kreuzprodukt definiert wird, lässt sich das auf Drehungen in n Dimensionen verallgemeinern.

Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers

Die Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden starren Körpers oder Bezugssystems ist eine eindeutige Größe, unabhängig von der Wahl eines Bezugspunktes oder einer Drehachse, denn an allen Punkten dreht sich die Richtung der Bahngeschwindigkeit in derselben Umlaufzeit einmal um $2\pi$ $2\pi$ $2\pi$ . Jeder Punkt eines starren Körpers hat den gleichen Winkelgeschwindigkeitsvektor.

Eindeutigkeit

Beweis der Unabhängigkeit der Winkelgeschwindigkeit von der Wahl des Bezugspunkts

Der starre Körper möge um eine beliebige Achse rotieren. Es wird gezeigt, dass die Winkelgeschwindigkeit unabhängig ist von der Wahl des Bezugspunkts, durch den die Achse führt. Dies bedeutet, dass die Winkelgeschwindigkeit eine unabhängige Eigenschaft des rotierenden starren Körpers ist.

Der Ursprung des Laborsystems ist in O, während O ₁ und O ₂ zwei Punkte auf dem starren Körper mit den Geschwindigkeiten ${\vec {v}}_{1}$ ${\vec {v}}_{1}$ ${\vec {v}}_{1}$ bzw. ${\vec {v}}_{2}$ ${\vec {v}}_{2}$ ${\vec {v}}_{2}$ sind. Angenommen, die Winkelgeschwindigkeit relativ zu O ₁ bzw. O ₂ sei ${\vec {\omega }}_{1}$ ${\vec {\omega }}_{1}$ ${\vec {\omega }}_{1}$ bzw. ${\vec {\omega }}_{2}.$ ${\vec {\omega }}_{2}.$ ${\vec {\omega }}_{2}.$ Da Punkt P und O ₂ jeweils nur eine Geschwindigkeit haben, gilt:

{\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {r}}_{1}={\vec {v}}_{2}+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {r}}_{2}

{\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {r}}_{1}={\vec {v}}_{2}+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {r}}_{2}

{\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {r}}_{1}={\vec {v}}_{2}+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {r}}_{2}

{\vec {v}}_{2}={\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {r}}={\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}_{1}\times ({\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2})\;.

{\vec {v}}_{2}={\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {r}}={\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}_{1}\times ({\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2})\;.

{\vec {v}}_{2}={\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {r}}={\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}_{1}\times ({\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2})\;.

Einsetzen der unteren Gleichung für ${\vec {v}}_{2}$ ${\vec {v}}_{2}$ ${\vec {v}}_{2}$ in die obere ergibt:

({\vec {\omega }}_{1}-{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {r}}_{2}={\vec {0}}\;.

({\vec {\omega }}_{1}-{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {r}}_{2}={\vec {0}}\;.

({\vec {\omega }}_{1}-{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {r}}_{2}={\vec {0}}\;.

Da der Punkt P (und damit ${\vec {r}}_{2}$ ${\vec {r}}_{2}$ ${\vec {r}}_{2}$ ) beliebig wählbar ist, folgt daraus:

{\vec {\omega }}_{1}={\vec {\omega }}_{2}\;.

{\vec {\omega }}_{1}={\vec {\omega }}_{2}\;.

{\vec {\omega }}_{1}={\vec {\omega }}_{2}\;.

Die Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers ist somit unabhängig von der Wahl des Bezugspunkts der Drehachse. Somit ist beispielsweise die Messung der Gierrate in einem Fahrzeug unabhängig vom Einbauort des Gierratensensors .

Kommutative Addition von Winkelgeschwindigkeiten

Mit kleiner werdendem Zeitintervall konvergiert das Kugelviereck (schwarz) gegen ein ebenes Parallelogramm , und die Differenz der beiden Geschwindigkeiten

{\dot {\vec {x}}}_{12},\ {\dot {\vec {x}}}_{21}

{\dot {\vec {x}}}_{12},\ {\dot {\vec {x}}}_{21}

{\dot {\vec {x}}}_{12},\ {\dot {\vec {x}}}_{21}

strebt gegen Null.

Obwohl Drehungen im Allgemeinen in ihrer Reihenfolge nicht vertauscht werden dürfen, ist bei der Winkelgeschwindigkeit die Kommutativität der Addition gegeben. Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit oder ganze Winkelgeschwindigkeitsvektoren addiert werden (anders als bei endlichen Drehungen, siehe Bild).

Mathematisch kann das durch Drehungen mit zwei Winkelgeschwindigkeiten in einem (infinitesimal) kleinen Zeitintervall d t gezeigt werden. ^[3] Im Zeitintervall d t bewegt sich ein Partikel am Ort ${\vec {x}}$ ${\vec {x}}$ ${\vec {x}}$ nach ${\vec {x}}'={\vec {x}}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t$ ${\vec {x}}'={\vec {x}}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t$ ${\vec {x}}'={\vec {x}}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t$ . Eine weitere Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}_{2}$ ${\vec {\omega }}_{2}$ ${\vec {\omega }}_{2}$ liefert die Endposition ${\vec {x}}''={\vec {x}}'+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {x}}'\,\mathrm {d} t$ ${\vec {x}}''={\vec {x}}'+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {x}}'\,\mathrm {d} t$ ${\vec {x}}''={\vec {x}}'+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {x}}'\,\mathrm {d} t$ und die Verschiebung

{\begin{aligned}\mathrm {d} {\vec {x}}_{12}:=&{\vec {x}}''-{\vec {x}}={\vec {x}}'+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {x}}'\,\mathrm {d} t-{\vec {x}}\\=&({\vec {x}}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t)+{\vec {\omega }}_{2}\times ({\vec {x}}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t)\,\mathrm {d} t-{\vec {x}}\\=&{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t+{\vec {\omega }}_{2}\times ({\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}})\,\mathrm {d} t^{2}.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\mathrm {d} {\vec {x}}_{12}:=&{\vec {x}}''-{\vec {x}}={\vec {x}}'+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {x}}'\,\mathrm {d} t-{\vec {x}}\\=&({\vec {x}}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t)+{\vec {\omega }}_{2}\times ({\vec {x}}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t)\,\mathrm {d} t-{\vec {x}}\\=&{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t+{\vec {\omega }}_{2}\times ({\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}})\,\mathrm {d} t^{2}.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\mathrm {d} {\vec {x}}_{12}:=&{\vec {x}}''-{\vec {x}}={\vec {x}}'+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {x}}'\,\mathrm {d} t-{\vec {x}}\\=&({\vec {x}}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t)+{\vec {\omega }}_{2}\times ({\vec {x}}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t)\,\mathrm {d} t-{\vec {x}}\\=&{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t+{\vec {\omega }}_{2}\times ({\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}})\,\mathrm {d} t^{2}.\end{aligned}}

Der Grenzwert d t → 0 kann berechnet werden:

{\dot {\vec {x}}}_{12}=\lim _{\mathrm {d} t\to 0}{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}_{12}}{\mathrm {d} t}}=({\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {x}}\;.

{\dot {\vec {x}}}_{12}=\lim _{\mathrm {d} t\to 0}{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}_{12}}{\mathrm {d} t}}=({\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {x}}\;.

{\dot {\vec {x}}}_{12}=\lim _{\mathrm {d} t\to 0}{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}_{12}}{\mathrm {d} t}}=({\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {x}}\;.

Diese Geschwindigkeit entspricht einer Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2}$ ${\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2}$ ${\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2}$ . Bei umgekehrter Reihenfolge der infinitesimalen Drehungen leitet sich ein identisches Ergebnis für die Geschwindigkeit ${\dot {\vec {x}}}_{21}$ ${\dot {\vec {x}}}_{21}$ ${\dot {\vec {x}}}_{21}$ ab. Deswegen addieren sich Winkelgeschwindigkeiten wie Vektoren und infinitesimal kleine Drehungen sind – anders als große Drehungen – in ihrer Reihenfolge vertauschbar.

Beweis mit Tensorrechnung
Drehungen können mit orthogonalen Tensoren beschrieben werden, von denen zwei, Q _1,2 , gegeben seinen. Mit den Definitionen ${\begin{aligned}\mathbf {\Omega } _{k}:=&{\dot {\mathbf {Q} }}_{k}\cdot \mathbf {Q} _{k}^{\top }\\{\bar {\mathbf {\Omega } }}_{k}:=&\mathbf {Q} _{k}^{\top }\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{k}=\mathbf {Q} _{k}^{\top }\cdot \mathbf {\Omega } _{k}\cdot \mathbf {Q} _{k}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\mathbf {\Omega } _{k}:=&{\dot {\mathbf {Q} }}_{k}\cdot \mathbf {Q} _{k}^{\top }\\{\bar {\mathbf {\Omega } }}_{k}:=&\mathbf {Q} _{k}^{\top }\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{k}=\mathbf {Q} _{k}^{\top }\cdot \mathbf {\Omega } _{k}\cdot \mathbf {Q} _{k}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\mathbf {\Omega } _{k}:=&{\dot {\mathbf {Q} }}_{k}\cdot \mathbf {Q} _{k}^{\top }\\{\bar {\mathbf {\Omega } }}_{k}:=&\mathbf {Q} _{k}^{\top }\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{k}=\mathbf {Q} _{k}^{\top }\cdot \mathbf {\Omega } _{k}\cdot \mathbf {Q} _{k}\end{aligned}}$ für k = 1, 2 berechnet sich die Geschwindigkeit eines Vektors ${\vec {x}}_{21}=\mathbf {Q} _{1}\cdot \mathbf {Q} _{2}\cdot {\vec {X}}$ ${\vec {x}}_{21}=\mathbf {Q} _{1}\cdot \mathbf {Q} _{2}\cdot {\vec {X}}$ ${\vec {x}}_{21}=\mathbf {Q} _{1}\cdot \mathbf {Q} _{2}\cdot {\vec {X}}$ , der durch Drehung aus dem festen Vektor ${\vec {X}}$ ${\vec {X}}$ ${\vec X}$ hervorgeht, zu: ${\begin{aligned}{\dot {\vec {x}}}_{21}=&({\dot {\mathbf {Q} }}_{1}\cdot \mathbf {Q} _{2}+\mathbf {Q} _{1}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{2})\cdot {\vec {X}}\\=&\mathbf {Q} _{1}\cdot (\mathbf {Q} _{1}^{\top }\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{1}+{\dot {\mathbf {Q} }}_{2}\cdot \mathbf {Q} _{2}^{\top })\cdot \mathbf {Q} _{2}\cdot {\vec {X}}\\=&\mathbf {Q} _{1}\cdot ({\bar {\mathbf {\Omega } }}_{1}+\mathbf {\Omega } _{2})\cdot \mathbf {Q} _{2}\cdot {\vec {X}}\;.\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\dot {\vec {x}}}_{21}=&({\dot {\mathbf {Q} }}_{1}\cdot \mathbf {Q} _{2}+\mathbf {Q} _{1}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{2})\cdot {\vec {X}}\\=&\mathbf {Q} _{1}\cdot (\mathbf {Q} _{1}^{\top }\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{1}+{\dot {\mathbf {Q} }}_{2}\cdot \mathbf {Q} _{2}^{\top })\cdot \mathbf {Q} _{2}\cdot {\vec {X}}\\=&\mathbf {Q} _{1}\cdot ({\bar {\mathbf {\Omega } }}_{1}+\mathbf {\Omega } _{2})\cdot \mathbf {Q} _{2}\cdot {\vec {X}}\;.\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\dot {\vec {x}}}_{21}=&({\dot {\mathbf {Q} }}_{1}\cdot \mathbf {Q} _{2}+\mathbf {Q} _{1}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{2})\cdot {\vec {X}}\\=&\mathbf {Q} _{1}\cdot (\mathbf {Q} _{1}^{\top }\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{1}+{\dot {\mathbf {Q} }}_{2}\cdot \mathbf {Q} _{2}^{\top })\cdot \mathbf {Q} _{2}\cdot {\vec {X}}\\=&\mathbf {Q} _{1}\cdot ({\bar {\mathbf {\Omega } }}_{1}+\mathbf {\Omega } _{2})\cdot \mathbf {Q} _{2}\cdot {\vec {X}}\;.\end{aligned}}$ Bei umgekehrter Reihenfolge der Rotationen, ${\vec {x}}_{12}=\mathbf {Q} _{2}\cdot \mathbf {Q} _{1}\cdot {\vec {X}},$ ${\vec {x}}_{12}=\mathbf {Q} _{2}\cdot \mathbf {Q} _{1}\cdot {\vec {X}},$ ${\vec {x}}_{12}=\mathbf {Q} _{2}\cdot \mathbf {Q} _{1}\cdot {\vec {X}},$ ergibt sich analog die im Allgemeinen andere Geschwindigkeit ${\dot {\vec {x}}}_{12}=({\dot {\mathbf {Q} }}_{2}\cdot \mathbf {Q} _{1}+\mathbf {Q} _{2}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{1})\cdot {\vec {X}}=\mathbf {Q} _{2}\cdot ({\bar {\mathbf {\Omega } }}_{2}+\mathbf {\Omega } _{1})\cdot \mathbf {Q} _{1}\cdot {\vec {X}}\,.$ ${\dot {\vec {x}}}_{12}=({\dot {\mathbf {Q} }}_{2}\cdot \mathbf {Q} _{1}+\mathbf {Q} _{2}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{1})\cdot {\vec {X}}=\mathbf {Q} _{2}\cdot ({\bar {\mathbf {\Omega } }}_{2}+\mathbf {\Omega } _{1})\cdot \mathbf {Q} _{1}\cdot {\vec {X}}\,.$ ${\dot {\vec {x}}}_{12}=({\dot {\mathbf {Q} }}_{2}\cdot \mathbf {Q} _{1}+\mathbf {Q} _{2}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{1})\cdot {\vec {X}}=\mathbf {Q} _{2}\cdot ({\bar {\mathbf {\Omega } }}_{2}+\mathbf {\Omega } _{1})\cdot \mathbf {Q} _{1}\cdot {\vec {X}}\,.$ Diese Identitäten gelten bei beliebig großen Rotationen. Berechnung der Geschwindigkeiten im Zustand Q _1,2 = 1 liefert die Winkelgeschwindigkeiten am Ort ${\vec {x}}:={\vec {x}}_{12}={\vec {x}}_{21}={\vec {X}}.$ ${\vec {x}}:={\vec {x}}_{12}={\vec {x}}_{21}={\vec {X}}.$ ${\vec {x}}:={\vec {x}}_{12}={\vec {x}}_{21}={\vec {X}}.$ Dann ist ${\bar {\mathbf {\Omega } }}_{1,2}=\mathbf {\Omega } _{1,2}$ ${\bar {\mathbf {\Omega } }}_{1,2}=\mathbf {\Omega } _{1,2}$ ${\bar {\mathbf {\Omega } }}_{1,2}=\mathbf {\Omega } _{1,2}$ und die obigen Gleichungen spezialisieren sich zu ${\begin{aligned}{\dot {\vec {x}}}_{21}=&(\mathbf {\Omega } _{1}+\mathbf {\Omega } _{2})\cdot {\vec {x}}=({\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {x}}\\{\dot {\vec {x}}}_{12}=&(\mathbf {\Omega } _{2}+\mathbf {\Omega } _{1})\cdot {\vec {x}}=({\vec {\omega }}_{2}+{\vec {\omega }}_{1})\times {\vec {x}}\,,\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\dot {\vec {x}}}_{21}=&(\mathbf {\Omega } _{1}+\mathbf {\Omega } _{2})\cdot {\vec {x}}=({\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {x}}\\{\dot {\vec {x}}}_{12}=&(\mathbf {\Omega } _{2}+\mathbf {\Omega } _{1})\cdot {\vec {x}}=({\vec {\omega }}_{2}+{\vec {\omega }}_{1})\times {\vec {x}}\,,\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\dot {\vec {x}}}_{21}=&(\mathbf {\Omega } _{1}+\mathbf {\Omega } _{2})\cdot {\vec {x}}=({\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {x}}\\{\dot {\vec {x}}}_{12}=&(\mathbf {\Omega } _{2}+\mathbf {\Omega } _{1})\cdot {\vec {x}}=({\vec {\omega }}_{2}+{\vec {\omega }}_{1})\times {\vec {x}}\,,\end{aligned}}$ siehe Winkelgeschwindigkeitstensor und Winkelgeschwindigkeit . Weil die Addition von Tensoren kommutativ ist, stimmen die Geschwindigkeiten überein: ${\dot {\vec {x}}}_{21}={\dot {\vec {x}}}_{12}={\vec {v}}=({\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {x}}=({\vec {\omega }}_{2}+{\vec {\omega }}_{1})\times {\vec {x}}\;.$ ${\dot {\vec {x}}}_{21}={\dot {\vec {x}}}_{12}={\vec {v}}=({\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {x}}=({\vec {\omega }}_{2}+{\vec {\omega }}_{1})\times {\vec {x}}\;.$ ${\dot {\vec {x}}}_{21}={\dot {\vec {x}}}_{12}={\vec {v}}=({\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {x}}=({\vec {\omega }}_{2}+{\vec {\omega }}_{1})\times {\vec {x}}\;.$

Somit ist die Kommutativität der Addition der Winkelgeschwindigkeiten erwiesen.

Anwendungen und Beispiele

Die Winkelgeschwindigkeit tritt in vielen Gleichungen und Anwendungsfällen der Physik, der Astronomie oder der Technik auf.

Ein Himmelskörper, der sich in einer Entfernung R von der Erde mit Geschwindigkeit $v_{t}$ $v_{t}$ $v_{t}$ senkrecht zur Sehlinie bewegt, zeigt am Himmel eine scheinbare Winkelgeschwindigkeit $\mu =v_{t}/R$ $\mu =v_{t}/R$ $\mu =v_{t}/R$ . Bei Meteoren (Sternschnuppen) kann sie bis zu 90° pro Sekunde ausmachen, sehr nahe Kleinplaneten oder Kometen können sich am Himmel einige Grad pro Stunde bewegen. Bei Sternen wird die Winkelgeschwindigkeit in Winkelsekunden pro Jahr angegeben und Eigenbewegung genannt.

Nach dem dritten Kepler'schen Gesetz verhalten sich die Quadrate der Umlaufzeiten T der Planeten wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen a ihrer Bahnen. Die Winkelgeschwindigkeiten verhalten sich demnach wie $\omega \propto 1/a^{3/2}$ $\omega \propto 1/a^{3/2}$ $\omega \propto 1/a^{{3/2}}$ („Kepler-Rotation“). Gemäß dem zweiten Kepler'schen Gesetz ist die Winkelgeschwindigkeit eines Planeten auf einer elliptischen Umlaufbahn in Bezug auf die Sonne vom jeweiligen Abstand abhängig und variiert somit längs der Bahn. Sie ist am größten, wenn der Planet sich im Perihel befindet, und am kleinsten, wenn er sich im Aphel befindet.

Bei der Rotation eines starren Körpers um eine ortsfeste Achse ist die Winkelgeschwindigkeit ω im Gegensatz zur Geschwindigkeit v vom Radius unabhängig. Seine Rotationsenergie und sein Drehimpuls sind Funktionen seiner Winkelgeschwindigkeit.

Die Winkelgeschwindigkeit eines Rotors in einem Elektromotor , der sich konstant mit 3.000 Umdrehungen pro Minute dreht, beträgt

\omega =2\pi \cdot 3000\cdot {\tfrac {1}{60\,{\text{s}}}}=314{,}16\,{\tfrac {\text{rad}}{\text{s}}}.

\omega =2\pi \cdot 3000\cdot {\tfrac {1}{60\,{\text{s}}}}=314{,}16\,{\tfrac {\text{rad}}{\text{s}}}.

\omega =2\pi \cdot 3000\cdot {\tfrac {1}{60\,{\text{s}}}}=314{,}16\,{\tfrac {\text{rad}}{\text{s}}}.

Bei solchen Angaben von Drehzahlen werden auch Einheiten wie

\mathrm {\tfrac {U}{min}}

\mathrm {\tfrac {U}{min}}

\mathrm {\tfrac {U}{min}}

und

\mathrm {\tfrac {1}{min}}

\mathrm {\tfrac {1}{min}}

\mathrm {\tfrac {1}{min}}

verwendet, siehe dazu den Artikel Drehzahl .

Sei $\omega _{0}$ $\omega _{0}$ $\omega _{0}$ die Kreisfrequenz der harmonischen Schwingung eines Pendels mit der Amplitude ${\hat {\varphi }}$ ${\hat {\varphi }}$ ${\hat {\varphi }}$ . Dann berechnet sich die Winkelgeschwindigkeit des Pendels als Funktion der Zeit:

\omega (t)={\dot {\varphi }}(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}[{\hat {\varphi }}\cdot \sin(\omega _{0}t)]={\hat {\varphi }}\cdot \omega _{0}\cdot \cos(\omega _{0}t)\;.

\omega (t)={\dot {\varphi }}(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}[{\hat {\varphi }}\cdot \sin(\omega _{0}t)]={\hat {\varphi }}\cdot \omega _{0}\cdot \cos(\omega _{0}t)\;.

\omega (t)={\dot {\varphi }}(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}[{\hat {\varphi }}\cdot \sin(\omega _{0}t)]={\hat {\varphi }}\cdot \omega _{0}\cdot \cos(\omega _{0}t)\;.

Bei Flugzeugen oder Pkw werden die Winkelgeschwindigkeiten in Komponenten des fahrzeugfesten Koordinatensystems angegeben. Entsprechend den x-, y-, z-Komponenten spricht man von Roll/Wankgeschwindigkeit, Nickgeschwindigkeit, Giergeschwindigkeit. Näheres dazu findet sich
- im Flugwesen unter Rollachse , Querachse , Gierachse und
- im Fahrzeugbau unter Fahrdynamik .

Literatur

Die Winkelgeschwindigkeit wird in vielen Lehrbüchern und Formelsammlungen der Natur- und Ingenieurswissenschaften behandelt.

Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik . 6. Auflage. Harri Deutsch, 2010, ISBN 978-3-8171-1860-1 .
Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 1 . 12. Auflage. Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0545-4 .

Einzelnachweise

↑ Manfred Knaebel, Helmut Jäger, Roland Mastel: Technische Schwingungslehre . Springer-Verlag, 2009, ISBN 978-3-8351-0180-7 , S. 8 ff . ( books.google.com. ).
↑ Jürgen Eichler: Physik. Grundlagen für das Ingenieurstudium – kurz und prägnant . Springer DE, 2011, ISBN 978-3-8348-9942-2 , S. 112 , urn : nbn:de:1111-20110310734 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Institut für Physik an der Universität Rostock (Hrsg.): Theoretische Physik II – Theoretische Mechanik . Kapitel 5 – Starrer Körper und Kreiseltheorie. S. 109 ( Seite nicht mehr abrufbar , Suche in Webarchiven: @1 @2 online [abgerufen am 6. Juni 2017]).

[KnaebelJäger2009-1] Manfred Knaebel, Helmut Jäger, Roland Mastel: Technische Schwingungslehre . Springer-Verlag, 2009, ISBN 978-3-8351-0180-7 , S. 8 ff . ( books.google.com. ).

[2] Jürgen Eichler: Physik. Grundlagen für das Ingenieurstudium – kurz und prägnant . Springer DE, 2011, ISBN 978-3-8348-9942-2 , S. 112 , urn : nbn:de:1111-20110310734 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[3] Institut für Physik an der Universität Rostock (Hrsg.): Theoretische Physik II – Theoretische Mechanik . Kapitel 5 – Starrer Körper und Kreiseltheorie. S. 109 ( Seite nicht mehr abrufbar , Suche in Webarchiven: @1 @2 online [abgerufen am 6. Juni 2017]).

[1]

[2]

[3]