Gravitasjonsfelt

I klassisk mekanikk er gravitasjonsfeltet (også kalt gravitasjonsfelt ) kraftfeltet som forårsakes av gravitasjon av masser . Feltstyrken til gravitasjonsfeltet er for hvert sted den delen forårsaket av gravitasjonsakselerasjon på grunn av tyngdekraften ${\vec {g}}$ ${\ displaystyle {\ vec {g}}}$ ${\ vec {g}}$ på. Det kan beregnes ut fra den romlige fordelingen av massene ved hjelp av Newtons gravitasjonslov .

Einsteins feltligninger for generell relativitet beskriver ikke lenger tyngdekraften som et kraftfelt, men som romtidens krumning . I roterende referanserammer, slik som den som er koblet til jord, det gravitasjonsfelt består av gravitasjonsfeltet og den sentrifugale akselerasjon. En klar modell av gravitasjonsfeltet er den potensielle trakten, der kuler eller mynter ruller på en tredimensjonal traktoverflate og simulerer bevegelsen i planet vinkelrett på traktaksen. ^[1]

Potensial og felt

Gravitasjonspotensial (rød kurve) og akselerasjon (blå) kontra avstanden fra jordens sentrum. I motsetning til gravitasjonspotensialet er gravitasjonspotensialet vanligvis satt til null ved uendelig.

Potensialet som tilhører gravitasjonsfeltet kalles gravitasjonspotensial . Det er verdt $\Phi ({\vec {r}})$ ${\ displaystyle \ Phi ({\ vec {r}})}$ $\ Phi ({\ vec {r}})$ lokalt ${\vec {r}}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ ${\ vec {r}}$ kan bestemmes med en kjent massetetthet $\rho ({\vec {r}})$ ${\ displaystyle \ rho ({\ vec {r}})}$ $\ rho ({\ vec {r}})$ ved å løse Poissons ligning

\Delta \Phi ({\vec {r}})=4\pi G\rho ({\vec {r}})

{\ displaystyle \ Delta \ Phi ({\ vec {r}}) = 4 \ pi G \ rho ({\ vec {r}})}}

\ Delta \ Phi ({\ vec r}) = 4 \ pi G \ rho ({\ vec r})

,

der $G$ ${\ displaystyle G}$ $G$ gravitasjonskonstanten og $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ er Laplace -operatøren . Potensialet er rundt en omtrent punktformig eller radielt symmetrisk kropp av massen $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ for eksempel

\Phi (r)=-{\frac {GM}{r}}\ ({}+\Phi _{\infty })

{\ displaystyle \ Phi (r) = - {\ frac {GM} {r}} \ ({} + \ Phi _ {\ infty})}

{\ displaystyle \ Phi (r) = - {\ frac {GM} {r}} \ ({} + \ Phi _ {\ infty})}

.

Her er $\Phi _{\infty }$ ${\ displaystyle \ Phi _ {\ infty}}$ $\ Phi _ {\ infty}$ potensialet i det uendelige. Det er en integrasjonskonstant som kan velges fritt og settes vanligvis vilkårlig til null.

Multipliser potensialet med massen av en kropp $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ dette er hvordan du får din potensielle energi

V({\vec {r}})=m\,\Phi ({\vec {r}})

{\ displaystyle V ({\ vec {r}}) = m \, \ Phi ({\ vec {r}})}}

V ({\ vec r}) = m \, \ Phi ({\ vec r})

.

Gravitasjonsfeltet ${\vec {g}}$ ${\ displaystyle {\ vec {g}}}$ ${\ vec {g}}$ kan brukes som et gradientfelt for gravitasjonspotensialet $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ skrive:

{\vec {g}}({\vec {r}})=-\nabla \Phi ({\vec {r}})

{\ displaystyle {\ vec {g}} ({\ vec {r}}) = - \ nabla \ Phi ({\ vec {r}})}}

{\ vec {g}} ({\ vec {r}}) = - \ nabla \ Phi ({\ vec {r}})

.

Kraften generert av feltet ${\vec {F}}_{\mathrm {G} }$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ mathrm {G}}}$ ${\ vec {F}} _ {{\ mathrm {G}}}$ på en massekropp $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ er da

{\vec {F}}_{\mathrm {G} }({\vec {r}})=m\,{\vec {g}}({\vec {r}})

{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {r}}) = m \, {\ vec {g}} ({\ vec {r}})}

{\ vec {F}} _ {{\ mathrm {G}}} ({\ vec {r}}) = m \, {\ vec g} ({\ vec r})

.

Feltstyrke

Feltstyrken til gravitasjonsfeltet kalles gravitasjonsfeltstyrke eller gravitasjonsakselerasjon ${\vec {g}}$ ${\ displaystyle {\ vec {g}}}$ ${\ vec {g}}$ . Den er uavhengig av prøvens masse (dvs. massen av kroppen som er vurdert, som er i gravitasjonsfeltet). Hvis det ikke er andre krefter som virker, er det det ${\vec {g}}$ ${\ displaystyle {\ vec {g}}}$ ${\ vec {g}}$ den eksakte akselerasjonen til en testmasse i feltet.

En punktmasse $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ forårsaker potensialet

\Phi ({\vec {r}})=-{\frac {GM}{r}}

{\ displaystyle \ Phi ({\ vec {r}}) = - {\ frac {GM} {r}}}

\ Phi ({\ vec r}) = - {\ frac {GM} {r}}

og derfor det tilhørende radielt symmetriske feltet med feltstyrken

{\vec {g}}({\vec {r}})=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {e}}_{r}

{\ displaystyle {\ vec {g}} ({\ vec {r}}) = - {\ frac {GM} {r ^ {2}}} {\ hat {e}} _ {r}}

{\ vec g} ({\ vec r}) = - {\ frac {GM} {r ^ {2}}} {\ hat {e}} _ {r}

Denne formelen gjelder også for sfærisk symmetriske legemer hvis avstanden $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ fra sentrum er større enn radius. Det gjelder omtrent hvilken som helst kropp av hvilken som helst form, hvis $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ størrelsesordener større enn størrelsen. Det er en testmasse $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ i dette gravitasjonsfeltet resulterer det

F_{\mathrm {G} }=m\,g(r)=m{\frac {GM}{r^{2}}}

{\ displaystyle F _ {\ mathrm {G}} = m \, g (r) = m {\ frac {GM} {r ^ {2}}}}

F _ {{\ mathrm {G}}} = m \, g (r) = m {\ frac {GM} {r ^ {2}}}

.

Dette tilsvarer Newtons tyngdelov , som bestemmer mengden av tiltrekningskraften mellom massesentrene til $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ og $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ som indikerer at det er i avstanden $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ betingelse.

Siden hver vilkårlig utvidet masse kan brytes ned i (omtrent) punktformede partimasser, kan hvert gravitasjonsfelt også representeres som en sum over mange punktmasser:

{\vec {g}}({\vec {r}})=-G\sum _{i}{m_{i}}{\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}|^{3}}}

{\ displaystyle {\ vec {g}} ({\ vec {r}}) = - G \ sum _ {i} {m_ {i}} {\ frac {{\ vec {r}} - {\ vec { r}} _ {i}} {| {\ vec {r}} - {\ vec {r}} _ {i} | ^ {3}}}}

{\ vec {g}} ({\ vec {r}}) = - G \ sum _ {{i}} {m_ {i}} {\ frac {{\ vec {r}} - {\ vec {r }} _ {i}} {| {\ vec {r}} - {\ vec {r}} _ {i} | ^ {3}}}

der ${\vec {r}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {i}}$ $\ vec {r} _i$ plasseringene til punktmassene $m_{i}$ ${\ displaystyle m_ {i}}$ $m_ {i}$ er. Følgende gjelder for kontinuerlige massefordelinger:

${\vec {g}}({\vec {r}})=-G\int \rho ({\vec {r}}'){\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{3}}}\mathrm {d} {\vec {r}}'$ ${\ displaystyle {\ vec {g}} ({\ vec {r}}) = - G \ int \ rho ({\ vec {r}} ') {\ frac {{\ vec {r}} - {\ vec {r}} '} {| {\ vec {r}} - {\ vec {r}}' | ^ {3}}} \ mathrm {d} {\ vec {r}} '}$ ${\ displaystyle {\ vec {g}} ({\ vec {r}}) = - G \ int \ rho ({\ vec {r}} ') {\ frac {{\ vec {r}} - {\ vec {r}} '} {| {\ vec {r}} - {\ vec {r}}' | ^ {3}}} \ mathrm {d} {\ vec {r}} '}$

der $\rho ({\vec {r}})$ ${\ displaystyle \ rho ({\ vec {r}})}$ $\ rho ({\ vec {r}})$ er massetetthetsfordelingen.

Se også

Gravitasjonsbindende energi

litteratur

Wolfgang Demtröder: Eksperimentell fysikk 1 . Springer, 2006, ISBN 978-3-540-26034-9 .
Horst Stöcker: Lommebok for fysikk . 6. utgave. Harri Deutsch, Leck 2010, ISBN 978-3-8171-1860-1 , s. 124 .

weblenker

Litteratur av og om gravitasjonsfelt i katalogen til det tyske nasjonalbiblioteket

Individuelle bevis

↑ Olaf Fischer: Planetarisk og kometbevegelse i modellen til den potensielle trakten. I: Vitenskap i skolen! Spektrum, 31. juli 2019, åpnet 29. oktober 2019 .

[1] Olaf Fischer: Planetarisk og kometbevegelse i modellen til den potensielle trakten. I: Vitenskap i skolen! Spektrum, 31. juli 2019, åpnet 29. oktober 2019 .

[1]