Styrketeori

fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigasjon Hopp til søk
Styrketeorien i teknisk mekanikk
 
 
 
 
Teknisk mekanikk
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Statikk
 
dynamikk
 
Styrketeori
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
kinematikk
 
kinetikk
 
 

Styrken på materialer er en gren av teknisk mekanikk . Dets viktigste anvendelsesområder er konstruksjon ( konstruksjonsteknikk ) og maskinteknikk . Lovene deres brukes til å undersøke om strukturer eller maskiner tåler belastningen som pålegges dem, det vil si at de ikke går i stykker eller deformeres overdrevent. På grunn av inkludering av deformasjon, brukes ofte det utvidede begrepet styrke og deformasjonsteori .

Med deres hjelp blir belastningene og deformasjonene som oppstår i kroppen når de utsettes for stress, sammenlignet med de tillatte verdiene. De tillatte spenningene bestemmes hovedsakelig av materialet som brukes og de tillatte deformasjonene ved bruk av komponentene.

Når det gjelder elastiske deformasjoner, brukes begrepet elastostatikk i tillegg til styrke teori. Plastiske deformasjoner er gjenstand for plastisitetsteori . [1]

Spenninger er synlige i gjennomsiktig polykarbonat gjennom polariserende dobbeltbrytning

historie

I antikken og i middelalderen brukte byggherrer tradisjon, erfaring og intuisjon for å bestemme styrken til bygninger og maskiner, slik at de verken mislyktes eller ble overdimensjonerte. De første konkrete eksperimentene på hvordan forskjellige materialer oppfører seg under en belastning ble utført av Galileo Galilei på begynnelsen av 1600 -tallet. [1] Systematiske og pålitelige resultater ble oppnådd fra rundt 1800 spesielt av Claude Louis Marie Henri Navier , Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant , Gabriel Lamé , Siméon Denis Poisson og Christian Otto Mohr . Navnene på disse forskerne kan fremdeles finnes i dag når det gjelder styrketeori oppkalt etter dem. Styrke teorien omfatter store deler av elastisitet og plastisitetsteori , [1] samt kryp (viskositet) av faste stoffer. Styrketeorien brukes i dag spesielt for beregninger innen konstruksjon og maskinteknikk .

Grunnleggende

Spenning

Kuboid med mekanisk belastning
Hovedspenninger i flyspenningstilstanden

Mekanisk spenning (kort: spenning) og forvrengning er de to grunnleggende størrelsene på styrketeorien. Styrken er hovedsakelig opptatt av mikro- og makronivået , der det i kontinuummekanikk strengt tatt bare er spenninger tilstede. Disse spenningene kombineres i de resulterende kreftene og øyeblikkene på tverrsnittsnivået og samhandler med den strukturelle analysen . Materialstyrke omhandler også spenningene i tverrsnittet som forårsaker spenningsresultatene - disse blir likestilt med de interne kreftene i første ordens teori i konstruksjonsteknikk. Følgende resultater er av spesiell interesse for strukturanalysen: Normal kraft , Skjærkraft , Bøyningsmomenter og vridningsmoment . Fordelingen av disse belastningene inne i kroppen representeres av spenningen. [1] Det elementære spenningsbegrepet, spenning er lik kraft per område, ble laget av Augustin-Louis Cauchy i 1822. [2]

Normalspenningen skapes av normale krefter eller kraftkomponenter ortogonale i forhold til den observerte overflaten satt i gang. Dermed følger det at middelspenningen er i lengderetningen er den normale kraften per tverrsnittsareal.

Bøyemomentet avhenger også av spenningene i lengderetningen: .

Sidekrefter absorberes av tverrsnitt gjennom skjærspenning. Når det gjelder rektangulære tverrsnitt med en høyde h (i z-retningen) og x-aksen i tyngdepunktet, som er spenst i treghetsaksene , bør det bemerkes at skjærspenningen i teorien om elastisitet har et kvadratisk forløp over tverrsnittet, siden på den frie overflaten (generelt) for skjærspenningene gjelder og på grunn av symmetrien til spenningstensoren følger det at skjærspenningen til Er null.

Ovennevnte ligninger er ikke tilstrekkelige til å dimensjonere et tverrsnitt tydelig, det er et uendelig antall tverrsnittsparameterkombinasjoner (f.eks. ). Videre til og med spenningskomponentinteraksjoner på materialnivå (f.eks. Sammenligningsspenning som skal vurderes); og generelt (både i teorien om elastisitet og i teorien om plastisitet ) må det påvises for hver fiber av materialet at visse styrke -kriterier er oppfylt.

Strengt tatt er spenningen en tensoral mengde, den kalles en spenningstensor for å klargjøre dette:

Det er tre normale påkjenninger på hoveddiagonalen . Sporet av spenningstensoren er invariant for koordinatsystemet. De andre elementene representerer skjærspenningene. På grunn av symmetrien til spenningstensoren er det tre uavhengige skjærspenninger. [2] Ved å transformere hovedaksen kan hver spenningstilstand konverteres til et koordinatsystem der alle skjærspenninger forsvinner (egenverdi / egenvektorproblem).

Mohr -spenningssirkelen er en grafisk metode for å bestemme hovedspenninger, deres retninger og prinsipielle skjærspenninger .

forvrengning

Definisjon av forvrengning ved hjelp av et uendelig lite linjeelement. Til venstre den ubelastede referansetilstanden, til høyre den lastede nåværende tilstanden

I mekanikken til deformerbare kropper ledsages hver spenning på et legeme av en forvrengning - og dermed en deformasjon - av denne kroppen. Det elementære begrepet forvrengning forstås generelt [Note 1] som forvrengning, dvs. som kvoten for endringen i lengde til den opprinnelige lengden: [2]

Forvrengningen, som spenningen, er en strekkmengde:

Siden i den tekniske applikasjonen er de observerte forskyvningsderivatene (dvs. forvrengninger og stive kroppsrotasjoner) generelt små sammenlignet med 1 ( ), er det vanlig å bruke den lineariserte belastningstensoren i stedet for Green-Lagrange-tensoren å bruke.

De viktigste diagonale elementene i den lineære tøynings -tensoren beskriver belastningen , definert som den relative endringen i lengden på et linjeelement . [Merknad 2] De resterende elementene i strekk -tensoren beskriver skjæret , definert som den symmetriske halvdelen av vinkelendringen mellom to opprinnelig ortogonale linjeelementer ved skjæringspunktet. Endringen i vinkel [Merknad 3] tilsvarer to ganger skjærbelastningskomponentene i strekk -tensoren.

Stress-belastningsdiagram

Eksempel på et spennings-belastningsdiagram

Spennings-belastningsdiagrammet skyldes ofte [Note 4] fra måledata (f.eks. Strekkprøve ) og etablerer et forhold mellom spenning og forvrengning ved å vise belastningen på abscissen og belastningen på ordinaten (vanligvis normalspenningen) fjernes. For duktile materialer kan det funksjonelle forholdet ofte [Note 5] deles inn i et lineært elastisk område, et ikke-lineært elastisk område og et plastområde. For styrke teori er det lineære-elastiske området tilstrekkelig, avhengig av materiale og applikasjon. I stålkonstruksjon , betongkonstruksjon og trekonstruksjon er elastikkområdet (unntatt i spesielle tilfeller) imidlertid igjen i en statisk beregning . I tømmer- og betongkonstruksjon antas forvrengningene generelt å være lineære over tverrsnittet ( Bernoullis forutsetninger ), men i henhold til gjeldende standarder antas et plastplatå (f.eks. Blokkfordeling eller parabolisk-rektangulær fordeling) med hensyn til spenningsfordeling i betongkonstruksjon. I stålkonstruksjon er det en tverrsnittsklassifisering i gjeldende standardisering , som definerer hvilke prosesser som er tillatte, [Merknad 6], der profilene standardisert i konstruksjon generelt oppfyller den høyeste klassen (nemlig klasse 1). Imidlertid er de stort sett bare bevist for klasse 2 (plastisering av tverrsnittet, men ingen rotasjonsevne antas) eller bare for klasse 3 (elastisk) - liggende på den sikre siden.

I det lineære-elastiske området beskriver grafen en rett linje; den generaliserte Hookes lov gjelder . Her er elastisitet tensor . Elastisitetsmodulene kan bestemmes ved hjelp av ultralydtesting . Elastisitetsmodulen bestemmes også av (enaksial så vel som multiaksial) kompresjons- eller strekkprøve i det lineære-elastiske området. Elastisitetsmengdene er viktige størrelser for utforming av kropper i styrketeorien. [1]

Med referanse til spennings-belastningsdiagrammet er flytspenningen vanligvis definert. Sviktskriterier for (enkelt- eller flerakset) styrker er ofte definert fra spenningsbelastningsdiagrammet. Disse styrkene brukes når du velger materialet for en gitt applikasjon. Forsterket betong brukes ofte i konstruksjonen , der det i den statiske beregningen som hovedregel bare er belastninger på stål og bare trykkspenninger på betong.

Skjærspenning-skjærdiagram

Skjærspennings-skjær-diagrammet er ofte resultatet av måledataene for spenningen på en prøve i skjær . I skjærspennings-skjær-diagrammet er skjæret plottet på abscissen og skjærspenningen på ordinaten. I det lineære-elastiske området er grafen til skjærspennings-skjærdiagrammet lineær. I styrketeorien gjelder følgende i det lineære elastiske området: . Proportionalitetskonstanten er skjærmodulen .

Termisk baserte påkjenninger

Når temperaturen stiger, ekspanderer et materiale vanligvis ( termisk ekspansjon ); når temperaturen faller, trekker det seg sammen. Dette forholdet kan lineariseres og modelleres ved å bruke følgende ligninger:

og

.

Her er

  • endringen i temperatur
  • termisk ekspansjonskoeffisient
  • endringen i kroppens lengde
  • sin opprinnelige lengde.

Hvis utvidelsen forhindres:

,

følger det at forvrengningen på grunn av spenning ( begrensning ) er lik den negative temperaturutvidelsen:

.

Arealet av treghet

Tabell over geometriske treghetsmomenter fra leksikonet for all teknologi fra 1904

Egenskapene til materialet og geometrien til et legeme påvirker dets oppførsel under belastning. Det geometriske treghetsmomentet er et rent geometrisk mål på motstanden til et tverrsnitt gjennom et legeme mot deformasjon gjennom bøyning og vridning . Det skilles mellom treghetsmomentet i polarområdet , de aksiale geometriske treghetsmomentene og så vel som avvikets øyeblikk .

Arealet av treghet kan også tolkes i form av tensor ; det gjelder . [2] Arealet treghet tensor blir med referert til, der blir allerede brukt til identitet .

Egenverdiene til arealet treghetstensor er maksima for det aksiale arealet av treghet i et tyngdepunktssystem og kalles de viktigste treghetsmomentene. [2] Transformasjonsforhold kan brukes til å bestemme de viktigste treghetsmomentene.

For lettere å kunne beregne de geometriske treghetsmomentene i komplekse tverrsnittsarealer, kan en nedbrytning i delområder og beregning av de geometriske treghetsmomentene for disse delområdene finne sted. Hvis tyngdepunktet til et delvis område ikke faller sammen med det totale tyngdepunktet,Steiner -andelen legges til de aksiale arealets treghetsmomenter og avviksmomentene i henhold til Steiners teorem . [2]

Det geometriske treghetsmomentet er av stor praktisk betydning, for med sin kunnskap kan komponenter utformes for å være så motstandsdyktige som mulig for en gitt hovedlastretning og en gitt materialbruk. Dette er årsaken til hyppig bruk av profilstål , for eksempel den doble T-bjelken, i stedet for fast materiale.

Uttalelser om tverrsnittsbelastning

Etter de betraktninger av statikk (for eksempel konstruksjonsteknikk ) eller dynamikk (for eksempel strukturelle dynamikk ), er de samme belastninger som er tilordnet den samme lasten, med henvisning til en linje føres gjennom en elastisk stang. Emnet styrke er emnet for styrketeknikk.

Bøye

Uttalelser om påkjenninger og deformasjoner på kropper på grunn av bøyning er en elementær komponent i styrketeorien. Her, i det er stråleteori, er modellen av strålen brukt, siden et antall komponenter, spesielt strukturelle komponenter og bølger forlater, modellert som bjelker.

Generelt skilles det mellom rette svinger og skråbøyninger . Den rette bøyningen gjøres ved å laste langs de trege aksene til en bjelke; Når det gjelder aksielt symmetriske tverrsnitt, er dette symmetriaksene.

Bøyer normalt stress

Den normale bøyningsspenningen endres lineært langs tverrsnittet

Når en bjelke er bøyd av et øyeblikk eller en belastning som genererer et bøyemoment, oppstår normal spenning i bjelken. Siden de undersøkte bjelkene stort sett er lange i forhold til tykkelsen ( slank stråle ) og nedbøyningene er relativt små, antas det ofte [Note 7] at den normale bøyespenningen endres lineært over tverrsnittet (se figuren til høyre) . Ved rett bøyning er den normale bøyespenningen bare avhengig av en treghetsakse. Størrelsen på de største bøyende normalspenningene forekommer på fiberen til bjelken som har størst eller minste verdi på denne treghetsaksen. Hvis det ikke er noen normal kraft , går nullkryssingen av spenningen ( nulllinjen eller den nøytrale fiberen ) gjennom tyngdepunktet til tverrsnittet. I dette tilfellet avhenger tegnet på spenningen bare av tegnet på hovedet treghetsaksen ved rett bøyning, forutsatt at elementets lengdeakse er i tyngdepunktet.

Bøyningsspenningen i bøyning kan bestemmes som følger for lineær elastisitet forutsatt Bernoulli -stråleteori :

  • [3]

I dette tilfellet er spenningskomponentene i tilfelle av spenning i treghetsaksene Bøyespenninger (en type normale påkjenninger ) som en funksjon av , og , avstanden til x-aksen (stangens lengdeakse), lastebøyemomentet rundt y-aksen og det aksiale geometriske treghetsmomentet . Hvis en bjelke i tillegg til belastningen forårsaket av et bøyemoment utsettes for en normal spenning ( begrensning ) forårsaket av en temperaturendring på grunn av hindret (eller forhindret) forlengelse, kan den resulterende normale spenningen bestemmes i den lineære elastisiteten teori i henhold til superposisjonsprinsippet ved å legge normalspenningen forårsaket av bøyemomentet til det termisk induserte normale spenningen. For dimensjonering av virkelige bjelker er kantspenningene ofte avgjørende i den lineære elastisitetsteorien, siden med bare bøyning av vridbelastninger med normal kraft er spenningen [Note 8] i resten av bjelken alltid den samme [Note 9] eller mindre enn stresset på Marginene. Når det gjelder M - N - V -interaksjon, må hver fiber verifiseres, spesielt i tyngdepunktet, siden det er her de største skjærspenningene er tilstede. For å få en materialoptimalisering (større spakarm) kan det produseres tverrsnitt med (muligens kontinuerlig) graderte materialstyrker eller materialbredder, eller materialkompositter kan brukes som i armert betongkonstruksjon . [Merknad 10] Hvis kantene på bjelken settes inn i bøyespenningsformelen, med bare en akse hovedakse som bøyes i z-retningen, er resultatet:

Som begge i tillegg til geometriske parametere, som bare avhenger av x-koordinaten, er, bøyning av normale spenninger, for et gitt tverrsnitt, for en gitt belastning og lineær elastisitet kan bestemmes entydig, og kan inkludere, for å motstå dreiemoment bli oppsummert.

Det gjelder [Note 11] og dermed .

Snittmodulen er også en rent geometrisk variabel og brukes ofte ved dimensjonering av bjelker, ettersom maksimal spenning gitt ved valg av materiale ikke må overskrides og snittmodulen skaper et enkelt forhold mellom normal bøyespenning og spenningen forårsaket av en bøyemoment. [2]

press

Bæreren svingte på begge sider på to støtter uten utliggerarm

En bøyebjelke (f.eks. Bjelke på to støtter eller en utkragningsarm) belastes med en positiv belastning på siden med den positive z-koordinaten i det vanlige koordinatsystemet på grunn av et positivt moment rundt den positive y-aksen. Bare nulllinjeplanet, der det ikke er noen spenninger, som går gjennom tyngdepunktet til strålens tverrsnitt når bare bøyemomenter påføres, forblir fri for normale spenninger i Bernoulli-stråleteorien og beholder dermed lengden ( ved konstant temperatur). Siden Bernoullis forutsetninger gjelder en god tilnærming for lange bjelker, forblir hvert tverrsnittsareal langs bjelken flatt og ortogonal til stråleaksen. [1]

Bøyelinjen beskriver nedbøyningen av stangaksen til en bjelke ved enhver x-koordinat. Den består vanligvis av elastiske, plastiske og viskøse komponenter. I lineær elastisitetsteori kan bøyelinjen oppnås fra differensialforhold gjennom flere integrasjoner fra bøyemomentkurven, skjærkraftkurven eller linjelasten, forutsatt at den kan tilpasses tydelig til grensebetingelsene. Følgende gjelder for konstant temperatur over tverrsnittet og for (enaksial) bøyning av hovedaksen: [Note 12]

  • .

Det er elastisitetsmodulen, det aksiale geometriske treghetsmomentet i z-retningen og nedbøyningskomponenten i z-retningen. Integrasjonskonstantene kan utelukkende med statisk bestemte og statisk ubestemte systemer tydelig om lagringen bestemmes av stangen. [2]

vridning

Eksempel på vridningsmomenter på en sirkulær stang

Hvis en stang belastes av et vridningsmoment , oppstår vridningsskjærspenninger i dens indre, noe som forårsaker en uendelig liten forskyvning av dens tverrsnittsoverflateelementer. I de fleste tilfeller [Note 13] må komponentens sikkerhet mot vridningsspenning demonstreres i et bevis på stabilitet .

Torsjon av stenger med sirkulært tverrsnitt

Forløpet av vridningsskjærspenningen på det sirkulære tverrsnittet

Ved vridning av sirkulære stenger som drivaksler og rør , forblir tverrsnittene flate og sirkulære og rette linjer forblir rette i aksial retning. Radius og lengde på stangen forblir konstant for de små rotasjonsvinklene som forekommer innen teknologi. Torsjonsskjærspenningen øker lineært med radius i den lineære elastisitetsteorien og er av vridningsmomentet og treghetsmomentet i polarområdet avhengig. Det beregnes ved hjelp av torsjonsformelen

  • . [1]

Som et resultat er vridningsskjærspenningen størst på overflaten av stangen og konstant over hele overflaten.

Vridningsvinkelen av stenger med et sirkulært tverrsnitt beregnes ved hjelp av følgende formel:

Det er lengden på stangen og G skjærmodulen .

For aksler som har flere skuldre med forskjellige diametre, kan den totale rotasjonsvinkelen beregnes ved å bruke formelen ovenfor for hvert akseltrinn og legge til resultatene. [1]

Torsjon av stenger med prismatisk tverrsnitt

Forløpet av skjærspenningen langs symmetriakslene til et rektangulært tverrsnitt

Mens i legemer med sirkulært tverrsnitt tverrsnittene alltid forblir sirkulære under vridningsbelastning , forekommer vridning i prismatiske tverrsnitt, noe som fører til et komplekst vridningsmønster som ikke kan bestemmes med enkle analytiske midler . Når du designer prismatiske stenger for torsjon, brukes tabeller ofte.

Når det gjelder trekantede eller firkantede tverrsnitt, oppstår de maksimale skjærspenningene alltid ved midtpunktene på sideflatene (se figur til høyre), mens hjørnene må være spenningsfrie på grunn av spenningsgrenseforholdene.

Torsjon av stenger med tynne vegger

Siden den maksimale skjærspenningen for sirkulære tverrsnitt oppstår på kantene, kan tynne vegger tverrsnitt brukes, for eksempel i rør eller hule sjakter .

Maksimal skjærspenning på et tynnvegget tverrsnitt kan bestemmes av med vridningens treghetsmoment og veggtykkelsen .

Hvis man oppsummerer vridningsmomentet og veggtykkelsen til vridningsmomentet for motstand zusammen, gilt . [2]

Der Verdrehwinkel wird berechnet durch . [1]

Bei dünnwandigen Querschnitten tritt Schubfluss auf, der durch folgende mithilfe der Bredtschen Formel hergeleitete Beziehung bestimmt wird:

Dabei ist der Schubfluss und die von der Profilmittellinie eingeschlossenen Fläche. Der Schubfluss ist der Grund für die deutlich höhere Widerstandsfähigkeit von geschlossenen Profilen gegenüber geschlitzten Profilen. [2]

Knicken von Druckstäben

Die vier Euler-Fälle unterscheiden sich in den Lagerungen der Stäbe

Sehr schlanke Stäbe neigen zu einem schlagartigen Versagen durch seitliche Auslenkung, sobald man sich einer kritischen Last – zu Ehren Leonhard Eulers auch Euler'sche Knicklast genannt – annähert. Dieser Effekt wird als "Knicken" bezeichnet und ist im Tragsicherheitsnachweis nachzuweisen. Für die Auslegung reicht es id R. nicht aus, dass die kritische Last einfach nur unterhalb der rechnerisch bestimmbaren ("theoretischen") Belastbarkeit eines Stabes gehalten wird, da durch werkstoffliche oder konstruktive Unvollkommenheiten ein Knicken schon vor Erreichen der idealen Knickdruckkraft eintreten kann. Die kritische Last eines Einzelstabes, der ausschließlich auf Normalkraft beansprucht wird, wird bestimmt durch:

  • [4]

Hierbei ist der Elastizitätsmodul , das Flächenträgheitsmoment [Anmerkung 14] des Querschnitts, die Länge des Stabs und ein Längenfaktor, der abhängig von den Randbediungen (in Sonderfällen eines der Euler-Fälle) (siehe Bild rechts, von links nach rechts) ist. Die Knicklänge ist der (eventuell virtuelle) Abstand zweier Wendepunkte (Momentennullpunkte) der (eventuell verlängerten) Biegelinie dieses Einzelstabes. Bei Rahmen, als auch drehbar gelagerten Stäben (tritt in der Realität in einer guten Näherung fast immer auf) werden häufig Knicklängendiagramme verwendet.

Formänderungsenergie

Beim Sprungbrett erhöht die Formänderungsenergie des Bretts zunächst die potentielle und anschließend die kinetische Energie des Sportlers

Durch seine Verformung nimmt ein Körper Energie, die Formänderungsenergie , auf. Für Normal- und Schubspannungen innerhalb eines Körpers wird die Formänderungsenergie bestimmt durch

Dabei ist:

der Spannungstensor
der Verzerrungsratentensor
das Volumen des betrachteten Körpers
die Zeit.

Für Stäbe und Balken lässt sich die Formänderungsenergie abhängig von den auftretenden Belastungen ausdrücken. Dabei ist die Länge des Körpers und die Laufkoordinate in Richtung der Stab- oder Balkenachse.

Die Formänderungsenergie ist in der linearen Elastizitätstheorie für Belastung durch…

  • Normalkraft: mit der Normalkraft und der Querschnittsfläche .
  • Biegemoment: mit dem Biegemoment und dem axialen Flächenträgheitsmoment in Richtung der Balkenachse.
  • Querkraftschub: mit der Querkraft und dem Formfaktor , in dem das statische Moment und die Breite beziehungsweise Wandstärke enthalten sind.
  • Torsion: mit Torsionsmoment und polarem Flächenträgheitsmoment . [1]

Bei kombinierter Belastung durch mehrere dieser Belastungsarten kann die resultierende Formänderungsenergie durch Addition der einzelnen Formänderungsenergien bestimmt werden. [2]

Energiemethoden

Die beiden Kräfte des Satzes von Betti am Kragträger

Mithilfe der Formänderungsenergie und unterschiedlichen Sätzen Energiemethoden lassen sich Aussagen zum Verhalten eines Körpers unter Lasteinwirkung treffen.

  • Der Satz von Castigliano besagt, dass die partielle Ableitung der in einem linear-elastischen Körper gespeicherten Formänderungsenergie nach der äußeren Kraft die Verschiebung des Kraftangriffspunkts in Richtung dieser Kraft ergibt.
  • Der Satz von Betti behandelt einen Körper, an dem zwei voneinander unabhängige Kräfte angreifen, und stellt einen Zusammenhang zwischen der Arbeit her, die diese Kräfte auf dem Verschiebungsweg der jeweils anderen Kraft verrichten. [2]
  • Das Prinzip der virtuellen Kräfte wird Johann I Bernoulli zugeschrieben, ist eine Abwandlung des Prinzips der virtuellen Arbeit und ermöglicht die Ermittlung von Verschiebungen und Winkeländerungen an Orten, an denen keine Kraft am Körper angreift. Dazu wird am gewünschten Ort eine virtuelle Kraft eingeführt, die einen beliebigen von Null verschiedenen Wert hat.

Sicherheit bei Festigkeitsberechnungen

Bei der Auslegung von Bauteilen müssen Sicherheiten beispielsweise gegen Bruch durch Materialermüdung vorgesehen werden.

Bei Bauteilen von Maschinen oder Elementen eines Gebäudes treten Ungenauigkeiten auf, diese sollten innerhalb der dafür vorgesehenen Toleranzen liegen. Zum einen können Fertigungsfehler die Belastbarkeit reduzieren, die ein Bauteil aufnehmen kann, des Weiteren können Lastannahmen falsch getroffen werden und die tatsächliche Belastung eines Teils über der angenommenen Belastung liegen. Sämtliche kommerzielle Werkstoffe (insbesondere Holz oder Beton ) weisen Schwankungen in ihrer Festigkeit auf, die zu Berücksichtigen sind. Das Teilsicherheitskonzept des Eurocodes beschreibt eine Möglichkeit dies zu berücksichtigen, wobei der charakteristische Widerstand (Resistance) und für die charakteristische Einwirkung steht:

Wobei und nicht nur Spannungen oder Verzerrungen, sondern auch Drehwinkel, Temperatur oder ähnliches sein können. Die Versagensbelastung wird im Allgemeinen durch Rechenmodelle (Normen, Computermodelle ) ermittelt, die oftmals Daten aus Versuchen oder Gebäudeschäden beinhalten.

Der Sicherheitsfaktor ist dimensionslos, sein Wert ist abhängig von der Sicherheitsrelevanz des zu dimensionierenden Bauteils und der Streuung im Werkstoffverhalten beziehungsweise der Einwirkung zu wählen. Im Hochbau liegt im Betonbau und Holzbau der globale Sicherheitsfaktor im Bereich von 2, in Einzelfällen (Kernkraftwerken) kann (und muss) davon abgewichen werden, außerordentliche Lastfälle (Lastfälle, die nicht zu erwarten sind wie z. B. Autoaufprall) haben einen reduzierten Sicherheitsfaktor auf der Einwirkungs- (=1) als auch auf der Widerstandsseite (tw.=1). Oft sind Sicherheitsfaktoren in Normenwerken zu finden. [1]

Neben den grundlegenden Größen wie Spannung und Verformung müssen Sicherheiten gegen Langzeitwirkungen wie Korrosion, Kriechen und Ermüdung vorgesehen werden. Kriechen tritt auf, wenn ein Werkstoff über eine lange Zeit, oft unter hohen Temperaturen, eine gleichförmige Belastung erfährt. Ermüdung tritt bei häufigen Belastungswechseln, beispielsweise bei Flugzeugen oder bei Antriebswellen von Fahrzeugen, auf.

Literatur

  • Russel C. Hibbeler: Technische Mechanik 2 Festigkeitslehre. 8. Auflage. Pearson Deutschland, München 2013, ISBN 978-3-86894-126-5 .
  • Walther Mann: Vorlesungen über Statik und Festigkeitslehre. Überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner, Stuttgart 1997, ISBN 3-519-15238-X .
  • Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Elastostatik, Mit einer Einführung in Hybridstrukturen. Springer, Berlin 2015, ISBN 978-3-662-44797-0 .
  • Klaus-Dieter Arndt, Holger Brüggemann, Joachim Ihme: Festigkeitslehre für Wirtschaftsingenieure. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-658-05903-3 .
  • Bruno Assmann, Peter Selke: Technische Mechanik 2 – Festigkeitslehre. 18. Auflage. Oldenbourg, München 2013, ISBN 978-3-486-70886-8 .
  • Herbert Balke : Einführung in die Technische Mechanik – Festigkeitslehre. 3. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-40980-6 .
  • Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder , Wolfgang Wall: Technische Mechanik 2 – Elastostatik. 10. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg 2009, ISBN 978-3-642-00564-0 .
  • Günther Holzmann, Heinz Meyer, Georg Schumpich: Technische Mechanik – Festigkeitslehre. 10. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg 2012, ISBN 978-3-8348-0970-4 .
  • Volker Läpple: Einführung in die Festigkeitslehre. 3. Auflage. Vieweg Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1605-4 .
  • Herbert Mang , Günter Hofstetter: Festigkeitslehre. 4. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-40751-2 (560 S., springer.com ).
  • Otto Wetzell, Wolfgang Krings: Technische Mechanik für Bauingenieure. Band 2: Festigkeitslehre. 3. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg 2015, ISBN 978-3-658-11467-1 .
  • Karl-Eugen Kurrer : Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht , Ernst und Sohn, Berlin 2016, S. 380–439, ISBN 978-3-433-03134-6 .

Anmerkungen

  1. Deformation (mechanics) #Strain measures in der englischsprachigen Wikipedia
  2. x=X+u, wobei X die Bezugskonfiguration (id R. undeformiert) und x die Momantanlage(id R. deformierte Lage) ist
  3. Deformation (mechanics) #Shear strain in der englischsprachigen Wikipedia
  4. Mehrachsige Spannung-Dehnungs-Diagramme resultieren oftmals aus Theorien, Annahmen, Normen,… und sind nicht immer messtechnisch bestätigt oder sind z. B. rein fiktiv und liegen auf der sicheren Seite.
  5. Viele Materialien zeigen viskose Eigenschaften.
  6. Klasse 1: Plastisch auf Querschnitts, als auch Systemebene Fließgelenk ; Klasse 2: Plastisch auf Querschnitssebene, aber nicht auf Systemebene; Klasse 3: Elastisch; Klasse 4: Aufgrund von lokalen Beulen, elastische Rechnung nicht zulässig.
  7. Annahme gilt nicht im Stahlbau , bei Querschnittsklasse 1 oder 2.
  8. Die Spannungskomponenten können auch negativ und somit kleiner sein.
  9. Das ist der Fall, wenn gilt: My=Mz=T=0.
  10. Der Stahl wird auf der Zugseite eingesetzt (aus Dauerhaftigkeitsgründen mit ausreichender Betondeckung), um einen optimalen Hebelsarm zur Betondruckzohne zu haben.
  11. W_o ist bei üblichen Koordinatensystem negativ.
  12. Dies gilt auch bei veränderlichen Elastizitätsmodul und veränderilchen Flächenträgheitsmoment.
  13. Im Betonbau braucht man id R. nur die Gleichgewichtstorsion, nicht aber die Verträglichkeitstorsion nachweisen.
  14. Bei veränderlichen Flächenträgheitsmoment kann man id R. in einem Traglastnachweis , auf der sicheren Seite liegend, das kleinste Flächenträgheitsmoment annehmen.

Einzelnachweise

  1. a b c d e f g h i j k Russel C. Hibbeler: Technische Mechanik 2 Festigkeitslehre. 8. Auflage. Pearson Deutschland, München 2013, ISBN 978-3-86894-126-5 .
  2. a b c d e f g h i j k l Bernd Markert : Mechanik 2 Elastostatik – Statik deformierbarer Körper. 2. Auflage. Institut für Allgemeine Mechanik Aachen , Aachen 2015.
  3. Herbert Mang , Günter Hofstetter: Festigkeitslehre . 4. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-40751-2 .
  4. Großübung Stabilität, elastische Knickung, Eulerfälle. ( Memento des Originals vom 4. März 2016 im Internet Archive ) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis. @1 @2 Vorlage:Webachiv/IABot/www.uni-magdeburg.de (PDF) Universität Magdeburg , abgerufen am 10. Oktober 2015.