Overføringsfunksjon

fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigasjon Hopp til søk

I ingeniørsystemteori beskriver overføringsfunksjonen eller systemfunksjonen matematisk forholdet mellom inngangs- og utgangssignalet til et lineært dynamisk system i et bildeområde . [1]

Et dynamisk system kan for eksempel være en mekanisk struktur, et elektrisk nettverk eller en annen biologisk, fysisk eller økonomisk prosess. [2] Ved hjelp av overføringsfunksjonen (som et alternativ til beregningen i tidsdomenet ) kan utgangssignalet, dvs. systemets reaksjon, lettere bestemmes for ethvert inngangssignal enn ved å løse differensialligninger. I tillegg: Delsystemer som er grafisk ordnet i et signalflytdiagram kan transformeres og oppsummeres ved hjelp av overføringsfunksjoner ved hjelp av enkle beregningsregler.

For kontinuerlige systemer er bildeplassen gitt av Laplace -transformasjonen . En akse er Fourier -frekvensparameteren iω. Overføringsfunksjonen er derfor også relatert til frekvensresponsen til et system.

For diskrete systemer er bildeområdet gitt av z-transformasjonen .

Som regel

Under et system menes i systemteorien abstrakt en prosess som konverterer et signal eller sender. [3] Signalet som blir matet til det, kalles deretter inngangssignalet, og det resulterende signalet kalles utgangssignalet . Hvordan signalet konverteres eller hvordan disse to signalene er relatert til hverandre, beskrives matematisk av overføringsfunksjonen.

Overføringsfunksjonen beskriver den dynamiske oppførselen til et system over tid. Den kan brukes til å beregne hvordan et inngangssignal konverteres av systemet eller hvilket utgangssignal det produserer. Den beskriver systemets dynamiske oppførsel helt og uavhengig av de spesifikke signalene. Overføringsfunksjonen viser bare den matematiske systematferden, men ikke de individuelle komponentene i systemet. Motsatt kan detaljene om implementeringen ikke leses direkte fra overføringsfunksjonen.

Overføringsfunksjoner brukes i ingeniørkunst der endringer i signaler - enten det er tilsiktet eller utilsiktet - blir beskrevet eller beregnet. De brukes mest i analysen av SISO -systemer, vanligvis innen signalbehandling , kontroll og kommunikasjonsteknikk , samt kodeteori . [4] Alle systemer som kan representeres av lineære differensial- eller differensialligninger kan modelleres matematisk på denne måten. Prosessen som endrer signalet kan ofte omtrent beskrives med en lineær modell . Deretter kan teorien om LZI -systemer brukes; de er lett tilgjengelige analytisk og godt undersøkt teoretisk.

Siden LZI -systemer bare endrer amplituden og fasevinkelen til signalets frekvenskomponenter, er beskrivelsen i frekvensområdet vanligvis mer praktisk og også mer kompakt. Beskrivelsen av tidsoppførselen til et LZI -system kan gjøres i det kontinuerlige tilfellet ved lineære differensialligninger. Den kan overføres til frekvensdomenet ved hjelp av Laplace -transformasjonen . Motsatt kan den inverse Laplace -transformasjonen brukes til å rekonstruere tidsatferden fra overføringsfunksjonen.

I diskrete systemer, som f.eks B. de fleste digitale tekniske systemer (f.eks. Digitale filtre ), er oppførselen til systemet bare definert på bestemte tidspunkt . Slike systemer kan beskrives i tidsdomenet ved lineære differensialligninger og overføres til bildomenet ved hjelp av z-transformasjonen . [5]

Som en kobling mellom kontinuerlige og tidsdiskrete overføringsfunksjoner, er forskjellige transformasjoner som den bilinjære transformasjonen eller impulsinvariantstransformasjonen tilgjengelig for å kunne konvertere overføringsfunksjoner mellom disse to formene, med hensyn til visse begrensninger.

Det er to muligheter for å få overføringsfunksjonen til et system: [6]

  1. Systemanalyse: Hvis den interne strukturen i systemet er kjent, kan den matematisk modelleres og oppførselen beregnes ut fra det.
  2. Systemidentifikasjon : Med kjente utgangs- og inngangssignaler Y og X, som enten kan måles eller spesifiseres, oppnås overføringsfunksjonen ved å danne kvotienten .

eksempel

Et enkelt eksempel på en ønsket signalendring er et lavpassfilter : Det filtrerer høye frekvenser fra et inngangssignal og forlater bare komponentene med lavere frekvens i utgangssignalet. En utilsiktet endring er z. B. forvrengning under overføring gjennom en kanal (f.eks. En kobberkabel, en fiberoptisk kabel eller en radioforbindelse). Her skulle man generelt ønske at kanalen ikke skulle endre signalet. Det gjør det imidlertid fordi det ikke er ideelt i virkeligheten. Slike forvrengninger må da kompenseres enten på senderen eller ved mottakeren.

Grunnleggende

definisjon

For kontinuerlige systemer som er lineære og tidsinvariante (det vil si at systemet viser samme oppførsel til enhver tid - gitt samme input), er overføringsfunksjonen definert som

eller alternativt i operatørnotasjon

Funksjonene Y (s) og U (s) er Laplace -transformasjonene til utgangs- eller inngangssignalet. G (s) er kvoten av disse to størrelsene og beskriver dermed systemet. [7] (Den tosidige Laplace-transformasjonen spiller en underordnet rolle i virkelige tekniske systemer, siden disse er årsakssammenheng .)

For tidsdiskrete LZI-systemer, slik som de som brukes f.eks. B. brukes i digital signalbehandling , definisjonen er lik, bare at z-transformene brukes her: [8]

Avledning via systemligningene (systemanalyse)

Hvis den interne strukturen til systemet er kjent, kan tidsatferden beskrives med den tilhørende systemligningen. Når det gjelder kontinuerlige systemer, er dette differensialligninger , for tidsdiskrete systemer, differensialligninger . Hvis dette fremdeles er lineære ligninger, er det tilhørende systemet også lineært og samtidig også tid -invariant - et LZI -system.

I stedet for å beskrive oppførselen til systemet i tidsdomenet, kan det i stedet overføres til det tilhørende frekvensdomenet og analyseres videre der. Ved hjelp av den transformerte ligningen kan en løsning vanligvis bli funnet lettere, og dermed kan systemresponsen for ethvert inngangssignal eller overføringsfunksjonen bestemmes.

For kontinuerlige systemer brukes Laplace-transformasjonen som standard, for diskrete tidssystemer z-transformasjonen. Et slikt forhold mellom tid og bildefunksjoner kalles korrespondanse . Siden den analytiske bestemmelsen av disse transformasjonene er kompleks og de samme ofte skjer igjen og igjen, eksisterer det såkalte korrespondansetabeller der ofte brukte transformasjoner kan slås opp.

Startverdiene til systemligningene representerer systemets interne tilstand i begynnelsen, f.eks. B. det for den interne energilagringen. I de fleste tilfeller er den opprinnelige tilstanden uten interesse for systemanalysen, og det antas at alle startverdier er null, dvs. at de interne energilagrene i systemet er tomme.

Signalbehandling (systemidentifikasjon)

I signalbehandling er det vanligvis ønsket om å konvertere et gitt inngangssignal til et bestemt utgangssignal eller å endre spektrumet til inngangssignalet på en bestemt måte. DVS. I motsetning til systemanalysen er systemets reaksjon kjent, men ikke hvordan den fungerer.

I dette tilfellet er systemligningen (i tidsdomenet så vel som i frekvensdomenet) ukjent, og den bestemmes ut fra inngangs- og utgangssignalet.

I et kontinuerlig system blir inngangs- og utgangssignalene kartlagt i frekvensområdet:

Utgangssignalet avhenger da av inngangssignalet via overføringsfunksjonen:

Og ved å omorganisere får du det samme:

Metoden fungerer på en tilsvarende måte i diskrete tidssystemer, ved at z-transformasjonen av signalene brukes her.

Representasjonsformer

Overføringsfunksjonen kan gis enten som en matematisk formel eller som grafiske kurver. Med den formelle representasjonen velger man vanligvis mellom den polynomiske representasjonen , dens produktrepresentasjon eller den delvise brøkdelingen .

Grafen kalles Bode -diagrammet og består av en beskrivelse av amplitudeforsterkningen og faseskiftet som inngangssignalet opplever.

Representasjonsform Notasjon i frekvensdomenet
polynom
Polnuller
Delvis brøk

Polene og nullene til funksjonen kan lett leses av i produktdisplayet. Representasjonen i delfraksjoner er spesielt egnet for den inverse transformasjonen til tidsdomenet.

Eksempler

System analyse

Kontinuerlig LZI -system [9]

Et system er beskrevet av følgende DGL:

Vær der virkelig verdsatte konstanter.

Laplace -transformasjonen av differensialligningen er

La alle startverdiene være og . Innsatt får du:

I henhold til definisjonen er overføringsfunksjonen kvoten Y / X, hvis man deler deretter på begge sider, får man:

Diskret tid LZI-system

I likhet med det kontinuerlige systemet ovenfor, er systemfunksjonen til et diskret LZI -system beskrevet av følgende differensialligning:

Vær der virkelig verdsatte konstanter.

Z-transformasjonen til differensligningen leser deretter

Overføringsfunksjonen oppnås ved omforming

Ofte brukte overføringsfunksjoner

I signalbehandling og kommunikasjonsteknologi:

I kontrollteknikk:

Se også

litteratur

  • Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduksjon til systemteori . 4. utgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 .
  • Fernando Puente León, Uwe Kiencke, Holger Jäkel: Signaler og systemer . 5. utgave. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-59748-6 .
  • Jan Lunze: Kontrollteknikk 1: Systemteoretisk grunnleggende, analyse og design av single-loop-kontroller. 7. utgave. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-68907-2 .
  • Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Lommebok for kontrollteknikk med MATLAB og Simulink . 12. utgave. Europa-Lehrmittel, 2021, ISBN 978-3-8085-5870-6 .

Individuelle bevis

  1. ^ Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduction to Systems Theory . 4. utgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , s.   101 .
  2. ^ Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduction to Systems Theory . 4. utgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , s.   7.
  3. ^ Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduction to Systems Theory . 4. utgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , s.   6.
  4. ^ John G. Proakis, Masoud Salehi: Kommunikasjonssystemteknikk. 2. utgave. Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 2002, ISBN 0-13-095007-6 , s.   626 (engelsk).
  5. ^ Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduction to Systems Theory . 4. utgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , s.   326 .
  6. ^ Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduction to Systems Theory . 4. utgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , s.   102 .
  7. ^ Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduction to Systems Theory . 4. utgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , s.   100 .
  8. ^ Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduction to Systems Theory . 4. utgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , s.   303
  9. ^ Douglas K. Lindner: Signaler og systemer . McGraw-Hill, ISBN 0-07-116489-8 , s. 294 f.